Y^prime=[cc 5 & -1 3 & 1 ] cdot Y , Y(0)=[c 2 -1 ]
Equação característica dos autovalores:
(5-r)(1-r)-(-1)(3)=0 5-5 r-r+r^2+3=0 r^2-6 r+8=0 r=2 ou r=4
Autovetor para r=2 :
[cc 5-2 & -1 3 & 1-2 ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] 3 v1-v2=0
[l v1 v2 ]=[l 1 3 ]
Autovetor para r=4 :
[cc 5-4 & -1 3 & 1-4 ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] v1-v2=0 [l v1 v2 ]=[l 1 1 ]
Solução geral:
Y(x)=c1 cdot[l 1 3 ] cdot e^2 x+c2 cdot[l 1 1 ] cdot e^4 x
Usando as condições iniciais:
Y(0)=c1 cdot[l 1 3 ]+c2 cdot[l 1 1 ]=[c 2 -1 ] c c1+c2=2 3 c1+c2=-1 Rightarrow c1=-32, c2=72
Portanto,
Y(x)=-32 cdot[l 1 3 ] cdot e^2 x+72 cdot[l 1 1 ] cdot e^4 x

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
Y' = 5 & -1 3 & 1 Y, Y(0)=2 -1,
e pede a solução geral que satisfaça a condição inicial. O conteúdo é resolução de sistemas de equações diferenciais por autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos os autovalores ,r a partir da equação característica
detl(A - rIr) =det5-r & -1 3 & 1-r =(5-r)(1-r)-(-1)cdot3=0
Expandindo,
r^2-6r+8=0 Longrightarrow r=2ou r=4

Passo 3

Para r=2, resolvemos
l(A-2Ir)v=0 ;Longrightarrow; 5-2 & -1 3 & 1-2 v1 v2 =00,
ou seja 3v1-v2=0. Tomando v1=1 obtém-se
v^(1)=13

Passo 4

Para r=4, resolvemos
l(A-4Ir)v=0 ;Longrightarrow; 5-4 & -1 3 & 1-4 v1 v2 =00,
ou seja v1-v2=0. Tomando v1=1
v^(2)=11

Passo 5

A solução geral do sistema é
Y(x)=c1,v^(1)e^2x+c2,v^(2)e^4x =c113e^2x +c211e^4x

Passo 6

Impondo
cuja solução é .]

Resposta

Y(x)=-tfrac32 13e^2x +tfrac72 11e^4x

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