Equação característica dos autovalores:
(5-r)(1-r)-(-1)(3)=0 5-5 r-r+r^2+3=0 r^2-6 r+8=0 r=2 ou r=4
Autovetor para
r=2 :
[cc 5-2 & -1 3 & 1-2 ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] 3 v1-v2=0
[l v1 v2 ]=[l 1 3 ]
Autovetor para
r=4 :
[cc 5-4 & -1 3 & 1-4 ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] v1-v2=0 [l v1 v2 ]=[l 1 1 ]
Solução geral:
Y(x)=c1 cdot[l 1 3 ] cdot e^2 x+c2 cdot[l 1 1 ] cdot e^4 x
Usando as condições iniciais:
Y(0)=c1 cdot[l 1 3 ]+c2 cdot[l 1 1 ]=[c 2 -1 ] c c1+c2=2 3 c1+c2=-1 Rightarrow c1=-32, c2=72
Portanto,
Y(x)=-32 cdot[l 1 3 ] cdot e^2 x+72 cdot[l 1 1 ] cdot e^4 x
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
e pede a solução geral que satisfaça a condição inicial. O conteúdo é resolução de sistemas de equações diferenciais por autovalores e autovetores.
Passo 2
Calculamos os autovalores
,r a partir da equação característica
Expandindo,
Passo 3
Para
r=2 , resolvemos
ou seja
3v1-v2=0 . Tomando
v1=1 obtém-se
Passo 4
Para
r=4 , resolvemos
ou seja
v1-v2=0 . Tomando
v1=1 dá
Passo 5
A solução geral do sistema é
Passo 6
Impondo
cuja solução é .]