Sejam A, B, C e M matrizes 4 times 4 tais que det(A)=2, det(B)=-3 e det(C)=5. Calcule o determinante de M sabendo que :
A^T(B^T)^-1 M(3 A^2)^-1=2 C^3

Passo 1

O enunciado pede det(M) sabendo que A,B,C,M são matrizes 4times4 com det(A)=2, det(B)=-3 e det(C)=5, e que
A^T,(B^T)^-1,M,(3A^2)^-1=2,C^3
Vamos usar as propriedades de determinante: det(XY)=det(X)det(Y), det(X^-1)=1/det(X), det(X^T)=det(X) e det(lambda X)=lambda^ndet(X) para matrizes ntimes n (aqui n=4).

Passo 2

Aplicando determinante em ambos os lados:
detl(A^T(B^T)^-1M(3A^2)^-1r) =detl(2,C^3r)
Pelo produto:
det(A^T);detl((B^T)^-1r);det(M);detl((3A^2)^-1r) =det(2,C^3)

Passo 3

Calculemos cada termo:
  1. det(A^T)=det(A)=2.
  2. detl((B^T)^-1r)=1/det(B^T)=1/det(B)=1/(-3)=-tfrac13.
  3. det(A^2)=(det(A))^2=2^2=4, logo
    det(3A^2)=3^4det(A^2)=81cdot4=324 e
    detl((3A^2)^-1r)=1/324.
  4. det(2,C^3)=2^4det(C^3)=16cdot(det(C))^3=16cdot5^3=16cdot125=2000.

Passo 4

Substituindo na igualdade:
2;l(-tfrac13r);det(M);l(tfrac1324r) =2000 Longrightarrow -23cdot324,det(M)=2000 Longrightarrow -det(M)486=2000
Daí
det(M)=-2000times486=-972000

Resposta

det(M)=-972000

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