Sejam
e
matrizes
. A matriz
foi obtida de
aplicando-se a seguinte sequência de operações elementares:
a) Multiplicou-se a segunda linha por -3 .
b) Multiplicou-se a primeira linha por 2 e somou-se na linha quatro.
c) Trocou-se a linha dois com a linha três.
d) Multiplicou-se a quarta linha por 2 e somou-se na primeira linha.
Calcule o determinante de
sabendo-se que o determinante de
é -2 .
a) Multiplicou-se a segunda linha por -3 .
b) Multiplicou-se a primeira linha por 2 e somou-se na linha quatro.
c) Trocou-se a linha dois com a linha três.
d) Multiplicou-se a quarta linha por 2 e somou-se na primeira linha.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 4,
e
, e diz que
foi obtida a partir de
pelas operações elementares de linha a), b), c) e d). Sabe-se que
e pede-se
. Vamos usar o efeito de cada operação sobre o determinante.
Passo 2
Na operação a) multiplicou‐se a segunda linha de
por
. Multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
. Após essa operação, chamando de
o determinante intermediário, temos
Passo 3
Na operação b) somou‐se 2 vezes a primeira linha à quarta linha. Adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante. Chamando de
o determinante após b),
Passo 4
Na operação c) trocou‐se a linha dois com a linha três. Trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Chamando de
o determinante após c),
Passo 5
Na operação d) somou‐se 2 vezes a quarta linha na primeira linha. Novamente, adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante. Chamando de
o valor final,
Passo 6
Como
, da relação
segue