Sejam A e B matrizes 4 times 4. A matriz B foi obtida de A aplicando-se a seguinte sequência de operações elementares:
a) Multiplicou-se a segunda linha por -3 .
b) Multiplicou-se a primeira linha por 2 e somou-se na linha quatro.
c) Trocou-se a linha dois com a linha três.
d) Multiplicou-se a quarta linha por 2 e somou-se na primeira linha.
Calcule o determinante de A sabendo-se que o determinante de B é -2 .

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 4, A e B, e diz que B foi obtida a partir de A pelas operações elementares de linha a), b), c) e d). Sabe-se que det(B)=-2 e pede-se det(A). Vamos usar o efeito de cada operação sobre o determinante.

Passo 2

Na operação a) multiplicou‐se a segunda linha de A por -3. Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Após essa operação, chamando de det1 o determinante intermediário, temos
det1 = -3,det(A)

Passo 3

Na operação b) somou‐se 2 vezes a primeira linha à quarta linha. Adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante. Chamando de det2 o determinante após b),
det2 = det1 = -3,det(A)

Passo 4

Na operação c) trocou‐se a linha dois com a linha três. Trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Chamando de det3 o determinante após c),
det3 = -det2 = -l(-3,det(A)r)=3,det(A)

Passo 5

Na operação d) somou‐se 2 vezes a quarta linha na primeira linha. Novamente, adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante. Chamando de det(B) o valor final,
det(B)=det3=3,det(A)

Passo 6

Como det(B)=-2, da relação det(B)=3,det(A) segue
det(A)=det(B)3=-23

Resposta

-tfrac23

Exercícios relacionados