Sejam A, B e C matrizes invertíveis de tamanho n times n. Encontre a matriz M, em função das matrizes A, B e C nas equações abaixo:
[(A M)^-1 B]^T=C

Passo 1

O enunciado pede para achar a matriz M em função de A, B e C, dadas invertíveis, de modo que
l[(A,M)^-1Br]^T=C
Vamos usar as propriedades
(XY)^-1=Y^-1X^-1, (X^T)^-1=(X^-1)^T, (PQR)^T=R^TQ^TP^T

Passo 2

Primeiro, note que
(A,M)^-1=M^-1A^-1,
portanto
l[(A,M)^-1Br]^T = l[M^-1A^-1Br]^T

Passo 3

Aplicando o produto de transposta, temos
l[M^-1A^-1Br]^T = B^T,(A^-1)^T,(M^-1)^T = B^T(A^T)^-1(M^T)^-1,
e essa expressão deve ser igual a C:
B^T(A^T)^-1(M^T)^-1=C

Passo 4

Multiplicando à esquerda por l[B^T(A^T)^-1r]^-1=A^T(B^T)^-1, isolamos (M^T)^-1:
(M^T)^-1 = A^T(B^T)^-1C

Passo 5

Invertendo ambos os lados, obtemos M^T:
M^T = l(A^T(B^T)^-1Cr)^-1 = C^-1B^T(A^T)^-1

Passo 6

Finalmente, transpondo para voltar a M:
M = l(M^Tr)^T = l[C^-1B^T(A^T)^-1r]^T = l((A^T)^-1r)^T(B^T)^T(C^-1)^T = A^-1B,(C^T)^-1

Resposta

M = A^-1B,(C^T)^-1

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