[2] 2.0 pontos] Nos itens abaixo, prove caso seja verdadeiro ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(2) Se
e
são duas matrizes tais que
( 0 é a matriz nula), então
ou
?
Se
e
são a transposta e inversa de
, respectivamente, então
?
(o’y) Se
tern alguma linha nula ou coluna nula, então
não é invertível?
(2) Se
(o’y) Se
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes e pede para provar cada uma quando verdadeira ou dar um contra-exemplo quando for falsa. O conteúdo envolvido é álgebra linear básica: produto de matrizes, propriedades de transposta e inversa, determinantes (ou posto) e invertibilidade.
Passo 2
Afirmativa 1: “Se
e
são matrizes tais que
, então
ou
”.
Isto seria falso no caso geral. Um contra-exemplo em dimensão é
Isto seria falso no caso geral. Um contra-exemplo em dimensão
Calculamos
mas nem
nem
é a matriz nula. Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmativa 2: “Se
e
são a transposta e a inversa de
, então
”.
Como , aplicamos a transposição em ambos os lados:
Como
Isto mostra que
é invertível e sua inversa é exatamente
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa 3: “Se
tem alguma linha nula ou coluna nula, então
não é invertível”.
Se possui uma linha nula, então suas linhas são linearmente dependentes, o que implica
ou posto
. Em ambos os casos
é singular e não admite inversa. O mesmo argumento vale se
tem uma coluna nula (dependência nas colunas). Logo a afirmação é verdadeira.
Se
Resposta
- Falso, contra-exemplo acima.
- Verdadeiro, pois
implica . - Verdadeiro, pois linha ou coluna nula torna
e não invertível.