[2] 2.0 pontos] Nos itens abaixo, prove caso seja verdadeiro ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(2) Se A e B são duas matrizes tais que A B=0 ( 0 é a matriz nula), então A=0 ou B=0 ?
Se A^T e A^-1 são a transposta e inversa de A, respectivamente, então (A^T)^-1=(A^-1)^T ?
(o’y) Se A tern alguma linha nula ou coluna nula, então A não é invertível?

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes e pede para provar cada uma quando verdadeira ou dar um contra-exemplo quando for falsa. O conteúdo envolvido é álgebra linear básica: produto de matrizes, propriedades de transposta e inversa, determinantes (ou posto) e invertibilidade.

Passo 2

Afirmativa 1: “Se A e B são matrizes tais que AB=0, então A=0 ou B=0”.
Isto seria falso no caso geral. Um contra-exemplo em dimensão 2times2 é
A = 1&00&0, B = 0&01&0
Calculamos
AB = 1&00&0 0&01&0 = 0&00&0,
mas nem A nem B é a matriz nula. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmativa 2: “Se A^T e A^-1 são a transposta e a inversa de A, então l(A^Tr)^-1 = (A^-1)^T”.
Como A,A^-1=I, aplicamos a transposição em ambos os lados:
(A,A^-1)^T = I^T Longrightarrow (A^-1)^T,A^T = I
Isto mostra que A^T é invertível e sua inversa é exatamente (A^-1)^T. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa 3: “Se A tem alguma linha nula ou coluna nula, então A não é invertível”.
Se A possui uma linha nula, então suas linhas são linearmente dependentes, o que implica det(A)=0 ou posto rank(A)<n. Em ambos os casos A é singular e não admite inversa. O mesmo argumento vale se A tem uma coluna nula (dependência nas colunas). Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. Falso, contra-exemplo acima.
  2. Verdadeiro, pois (A,A^-1)^T=I implica (A^T)^-1=(A^-1)^T.
  3. Verdadeiro, pois linha ou coluna nula torna det(A)=0 e A não invertível.

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