Quatro vértices de um cubo unitário são (0,0,0), i=(1,0,0), j=(0,1,0), e k= (0,0,1). Quais são os outros quatro vértices? Encontre as coordenadas do ponto central do cubo. Os pontos centrais das seis faces são . Quantas arestas o cubo tem?

Passo 1

O enunciado pede para completar as coordenadas de um cubo de aresta 1 em R^3, dado que quatro vértices são
(0,0,0),;i=(1,0,0),;j=(0,1,0),;k=(0,0,1)
Precisamos encontrar os quatro vértices restantes, o ponto central do cubo, os centros das seis faces e contar as arestas. Vamos usar combinação de vetores e médias de coordenadas.

Passo 2

Os vértices de um cubo unitário são todas as combinações de 0 e 1 nas três coordenadas. Usando somas de i,j,k, os quatro vértices faltantes são
i+j=(1,1,0), i+k=(1,0,1), j+k=(0,1,1), i+j+k=(1,1,1)

Passo 3

O ponto central do cubo é a média aritmética dos extremos opostos, por exemplo (0,0,0) e (1,1,1). Logo,
l(tfrac0+12,tfrac0+12,tfrac0+12r) =l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r)

Passo 4

Cada face do cubo é dada por uma coordenada fixa igual a 0 ou 1 e as outras duas variando em 0,1. O centro de cada face é a média das suas quatro vértices, resultando nos pontos
l(0,tfrac12,tfrac12r),; l(1,tfrac12,tfrac12r),; l(tfrac12,0,tfrac12r),; l(tfrac12,1,tfrac12r),; l(tfrac12,tfrac12,0r),; l(tfrac12,tfrac12,1r)

Passo 5

Cada vértice do cubo é extremo de exatamente três arestas e há 8 vértices. Pelo princípio da soma dos graus,
#arestas=8times32=12

Resposta

Os quatro vértices restantes são
(1,1,0),,(1,0,1),,(0,1,1),,(1,1,1).
O centro do cubo é l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r).
Os centros das seis faces são
l(0,tfrac12,tfrac12r),; l(1,tfrac12,tfrac12r),; l(tfrac12,0,tfrac12r),; l(tfrac12,1,tfrac12r),; l(tfrac12,tfrac12,0r),; l(tfrac12,tfrac12,1r)
O cubo tem 12 arestas.

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