Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: III) A(B+C)=(B+C) A;

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são matrizes quadradas da mesma ordem e pede para verificar se a igualdade
A(B+C) = (B+C)A
vale para quaisquer A, B e C. O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular propriedade distributiva e comutatividade.

Passo 2

Usando a distributividade da multiplicação sobre a soma, podemos escrever separadamente cada membro:
A(B+C) = AB + AC
e
(B+C)A = BA + CA

Passo 3

Para que AB + AC = BA + CA para todas as matrizes, seria necessário que AB = BA e AC = CA simultaneamente, ou seja, que A comutasse tanto com B quanto com C. Mas em geral matrizes não comutam.

Passo 4

Basta um contraexemplo simples para mostrar que a igualdade não é verdadeira em geral. Por exemplo, seja
A = 1 & 0[6pt]0 & 0, B = 0 & 1[6pt]0 & 0, C = 0 & 0[6pt]0 & 0
Então B+C = B e
A(B+C) = AB = 1 & 0[3pt]0 & 0 0 & 1[3pt]0 & 0 = 0 & 1[3pt]0 & 0,
enquanto
(B+C)A = BA = 0 & 1[3pt]0 & 0 1 & 0[3pt]0 & 0 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Como esses resultados são diferentes, a igualdade falha.]

Resposta

A afirmação III) é falsa.

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