Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: III)
;
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são matrizes quadradas da mesma ordem e pede para verificar se a igualdade
vale para quaisquer
,
e
. O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular propriedade distributiva e comutatividade.
Passo 2
Usando a distributividade da multiplicação sobre a soma, podemos escrever separadamente cada membro:
e
Passo 3
Para que
para todas as matrizes, seria necessário que
e
simultaneamente, ou seja, que
comutasse tanto com
quanto com
. Mas em geral matrizes não comutam.
Passo 4
Basta um contraexemplo simples para mostrar que a igualdade não é verdadeira em geral. Por exemplo, seja
Então
e
enquanto
Como esses resultados são diferentes, a igualdade falha.]
Resposta
A afirmação III) é falsa.