Sejam a, b e c números reais. Escreva cada sistema em sua forma matricial A \cdot X=B, calcule a matriz inversa A^{-1} e determine X. Observe que X=A^{-1} \cdot B.
\left\{\begin{array}{c}2 x+y-z=a \\\\ 2 y+z=b \\\\ 5 x+2 y-3 z=c .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y - z = a,\\\ \phantom{2}0x + 2y + z = b,\\\\ 5x + 2y - 3z = c, \end{cases}
e pede para escrevê‐lo na forma matricial A\cdot X = B, calcular A^{-1} e usar X = A^{-1}B. O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares por inversão de matriz, usando determinante e matriz adjunta.

Passo 2

Escrevemos
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix},
de modo que A\,X = B.

Passo 3

Calculamos \det(A) e a matriz adjunta \operatorname{adj}(A).
Expandindo pela primeira linha:
\det(A) =2\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 2 & -3\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 5 & -3\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 5 & 2\end{vmatrix} =-16+5+10=-1.
Os cofatores formam
C=\begin{pmatrix} -8 & 5 & -10\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix},
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\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix} -8 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & -2\\\\ -10 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -\,\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 8 & -1 & -3\\\\ -5 & 1 & 2\\\\ 10 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora usamos X = A^{-1}B:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3\\\\ -5 & 1 & 2\\\\ 10 & -1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8a - b - 3c\\\\ -5a + b + 2c\\\\ 10a - b - 4c \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix},\quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3\\\\ -5 & 1 & 2\\\\ 10 & -1 & -4 \end{pmatrix},
X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8a - b - 3c\\\\ -5a + b + 2c\\\\ 10a - b - 4c \end{pmatrix}.

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