Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
8 a b c \leq(a+b)(b+c)(c+a).

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dados: a, b e c são números reais não negativos (ou seja, a\ge0, b\ge0, c\ge0).
  • Pedido: provar a desigualdade
8 a b c \leq (a+b)(b+c)(c+a).
Não há outras perguntas. A meta é mostrar que, para quaisquer a,b,c\ge0, a expressão à direita é maior ou igual a 8abc.

Passo 2

Reescrevemos o produto do lado direito usando uma identidade algébrica conveniente. Vou expandir passo a passo:
Primeiro multiplicamos (a+b)(b+c):
(a+b)(b+c)=ab+ a c + b^2 + b c.
Agora multiplicamos isso por (c+a). É mais prático usar a identidade conhecida (que pode ser verificada por expansão):
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc.
Para ficar seguro: se alguém preferir, pode verificar essa identidade expandindo completamente as duas expressões; elas coincidem. Aceitando a identidade, podemos trabalhar com a forma mais compacta acima.

Passo 3

Substituindo a identidade na desigualdade pedida obtemos:
8abc \le (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc.
Somando abc em ambos os lados:
9abc \le (a+b+c)(ab+bc+ca).
Logo a desigualdade original é equivalente a provar
(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc.

Passo 4

Agora vamos usar o princípio do AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica), que é um lema clássico e muito útil. Vou lembrar e explicar a versão que usaremos:
  • Para quaisquer números não negativos x, y vale
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy},
com igualdade se e somente se x=y. Uma prova rápida dessa desigualdade é notar que (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge0 e expandir.
  • A versão para três números não negativos x,y,z é:
\frac{x+y+z}{3} \ge (xyz)^{1/3},
com igualdade se e somente se x=y=z. A desigualdade para três números pode ser obtida por indução a partir do caso de dois números ou por aplicações repetidas do caso de dois números; é um resultado padrão e aceito. O importante aqui é entender a ideia: a média aritmética não é menor que a média geométrica.

Passo 5

Aplicamos AM-GM a dois tripletos apropriados:
  1. Aplicando AM-GM ao triplo (a,b,c) (todos não negativos) temos
\frac{a+b+c}{3} \ge (abc)^{1/3}.
  1. Aplicando AM-GM ao triplo (ab,bc,ca) (também não negativos porque a,b,c\ge0) temos
\frac{ab+bc+ca}{3} \ge \bigl((ab)(bc)(ca)\bigr)^{1/3} = (a^2 b^2 c^2)^{1/3} = (abc)^{2/3}.
Agora multiplicamos as duas desigualdades membro a membro:
\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\left(\frac{ab+bc+ca}{3}\right) \ge (abc)^{1/3}\cdot(abc)^{2/3} = abc.
Multiplicando ambos os lados por 9 obtemos
(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc,
que é exatamente a desigualdade obtida no Passo 3.

Passo 6

Unindo os passos: do Passo 3 a desigualdade original é equivalente a (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge9abc. No Passo 5 acabamos de provar essa última desigualdade usando AM-GM. Portanto a desigualdade inicial
8abc \le (a+b)(b+c)(c+a)
é verdadeira para todos a,b,c\ge0.
Observação sobre igualdade: a igualdade ocorre quando a=b=c. De fato, se a=b=c=t\ge0 então o lado esquerdo é 8t^3 e o lado direito é (2t)^3=8t^3.

Resposta

8abc \le (a+b)(b+c)(c+a)

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