Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Dados:
, e são números reais não negativos (ou seja, , , ). - Pedido: provar a desigualdade
Não há outras perguntas. A meta é mostrar que, para quaisquer
, a expressão à direita é maior ou igual a
.
Passo 2
Reescrevemos o produto do lado direito usando uma identidade algébrica conveniente. Vou expandir passo a passo:
Primeiro multiplicamos :
Primeiro multiplicamos
Agora multiplicamos isso por
. É mais prático usar a identidade conhecida (que pode ser verificada por expansão):
Para ficar seguro: se alguém preferir, pode verificar essa identidade expandindo completamente as duas expressões; elas coincidem. Aceitando a identidade, podemos trabalhar com a forma mais compacta acima.
Passo 3
Substituindo a identidade na desigualdade pedida obtemos:
Somando
em ambos os lados:
Logo a desigualdade original é equivalente a provar
Passo 4
Agora vamos usar o princípio do AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica), que é um lema clássico e muito útil. Vou lembrar e explicar a versão que usaremos:
- Para quaisquer números não negativos
, vale
com igualdade se e somente se
. Uma prova rápida dessa desigualdade é notar que
e expandir.
- A versão para três números não negativos
é:
com igualdade se e somente se
. A desigualdade para três números pode ser obtida por indução a partir do caso de dois números ou por aplicações repetidas do caso de dois números; é um resultado padrão e aceito. O importante aqui é entender a ideia: a média aritmética não é menor que a média geométrica.
Passo 5
Aplicamos AM-GM a dois tripletos apropriados:
- Aplicando AM-GM ao triplo
(todos não negativos) temos
- Aplicando AM-GM ao triplo
(também não negativos porque ) temos
Agora multiplicamos as duas desigualdades membro a membro:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
que é exatamente a desigualdade obtida no Passo 3.
Passo 6
Unindo os passos: do Passo 3 a desigualdade original é equivalente a
. No Passo 5 acabamos de provar essa última desigualdade usando AM-GM. Portanto a desigualdade inicial
é verdadeira para todos
.
Observação sobre igualdade: a igualdade ocorre quando
. De fato, se
então o lado esquerdo é
e o lado direito é
.