Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
.
Passo 1
O enunciado dá que
são números reais não negativos (ou seja,
,
,
) e pede para provar a desigualdade
As informações relevantes são apenas os valores de
serem reais não negativos e a própria desigualdade que deve ser demonstrada.
Passo 2
Fato básico que vamos usar: o quadrado de qualquer número real é não negativo. Em símbolos:
Explicação curta e intuitiva: multiplicar um número por ele próprio dá sempre um valor ≥0 porque dois números com o mesmo sinal produzem produto não negativo; isso vale tanto para
quanto para
.
Passo 3
Considere a soma de três quadrados das diferenças entre os pares:
Pelo que dissemos no Passo 2, cada termo ao lado direito é não negativo, então
Passo 4
Agora vamos expandir cada quadrado e somar passo a passo. Expandindo:
Somando as três expressões obtemos
Passo 5
Agrupando termos iguais na soma do Passo 4:
Como
, temos
Passo 6
Dividindo ambos os lados da desigualdade do Passo 5 por
(divisão por número positivo preserva a desigualdade) chegamos à desigualdade desejada:
Passo 7
Observação sobre o caso de igualdade: a soma de quadrados
é zero somente quando cada termo é zero. Assim
implica
, ou seja,
. Portanto a igualdade na desigualdade dada ocorre exatamente quando
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todos
. Igualdade se e somente se
.