Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
a b+b c+c a \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números reais não negativos (ou seja, a\ge 0, b\ge 0, c\ge 0) e pede para provar a desigualdade
ab+bc+ca \le a^{2}+b^{2}+c^{2}.
As informações relevantes são apenas os valores de a,b,c serem reais não negativos e a própria desigualdade que deve ser demonstrada.

Passo 2

Fato básico que vamos usar: o quadrado de qualquer número real é não negativo. Em símbolos:
x^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicação curta e intuitiva: multiplicar um número por ele próprio dá sempre um valor ≥0 porque dois números com o mesmo sinal produzem produto não negativo; isso vale tanto para x\ge0 quanto para x\le0.

Passo 3

Considere a soma de três quadrados das diferenças entre os pares:
S=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}.
Pelo que dissemos no Passo 2, cada termo ao lado direito é não negativo, então
S\ge 0.

Passo 4

Agora vamos expandir cada quadrado e somar passo a passo. Expandindo:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
(b-c)^{2}=b^{2}-2bc+c^{2},
(c-a)^{2}=c^{2}-2ca+a^{2}.
Somando as três expressões obtemos
S=(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2}).

Passo 5

Agrupando termos iguais na soma do Passo 4:
S=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca).
Como S\ge 0, temos
0\le 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca).

Passo 6

Dividindo ambos os lados da desigualdade do Passo 5 por 2 (divisão por número positivo preserva a desigualdade) chegamos à desigualdade desejada:
ab+bc+ca \le a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Passo 7

Observação sobre o caso de igualdade: a soma de quadrados S é zero somente quando cada termo é zero. Assim S=0 implica (a-b)^{2}=(b-c)^{2}=(c-a)^{2}=0, ou seja, a=b=c. Portanto a igualdade na desigualdade dada ocorre exatamente quando a=b=c.

Resposta

A desigualdade ab+bc+ca \le a^{2}+b^{2}+c^{2} é verdadeira para todos a,b,c\ge 0. Igualdade se e somente se a=b=c.

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