Seja E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base orotonormal. Calcule \|\vec{u}\|, onde:
\vec{u}=5 e_{1}-4 e_{2}-3 e_{3}

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortonormal E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e o vetor
\vec{u}=5\overrightarrow{e_{1}}-4\overrightarrow{e_{2}}-3\overrightarrow{e_{3}}.
A pergunta é: calcular \|\vec{u}\| (a norma do vetor \vec{u}). Aqui estão os dados relevantes: os coeficientes nas direções da base são 5, -4 e -3; e a base é ortonormal (importantíssimo).

Passo 2

Definição útil: a norma de um vetor \vec{u} é dada por
\|\vec{u}\|=\sqrt{\langle \vec{u},\vec{u}\rangle},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (no caso usual, o produto escalar). Vou explicar: \langle \vec{u},\vec{u}\rangle é um número não-negativo que mede “o quadrado do tamanho” do vetor; a raiz quadrada dele dá o comprimento.

Passo 3

Como a base é ortonormal, vale a propriedade
\langle \overrightarrow{e_i},\overrightarrow{e_j}\rangle = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Escrevendo \vec{u} com seus coeficientes \,a_1=5,\;a_2=-4,\;a_3=-3, podemos expandir o produto interno por bilinearidade:
\langle \vec{u},\vec{u}\rangle = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_i a_j \langle \overrightarrow{e_i},\overrightarrow{e_j}\rangle.]

Passo 4

Pela propriedade da base ortonormal, só permanecem os termos com i=j. Portanto
\langle \vec{u},\vec{u}\rangle = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2.
Substituindo os coeficientes conhecidos:
\langle \vec{u},\vec{u}\rangle = 5^{2} + (-4)^{2} + (-3)^{2} = 25 + 16 + 9 = 50.

Passo 5

Agora a norma é a raiz quadrada desse valor:
\|\vec{u}\|=\sqrt{50}.
Simplificando a raiz: 50=25\cdot 2, então
\|\vec{u}\|=5\sqrt{2}.
Você chegou ao resultado aplicando a regra prática: em base ortonormal, a norma é a raiz da soma dos quadrados das coordenadas — rapidinho na prova!

Resposta

\|\vec{u}\|=5\sqrt{2}

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