Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são subconjuntos de um conjunto
. Pede para provar a igualdade
Ou seja, mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são exatamente os mesmos (contêm os mesmos elementos).
Passo 2
Antes de começar, vamos lembrar as definições e algumas equivalências lógicas que usaremos (tudo explicadinho, sem pular etapas):
- Definição de diferença de conjuntos:
significa, por definição, que e . - Definição de união:
significa que ou (isto é, ). - Definição de interseção:
significa que e (isto é, ). - Regra lógica importante (Leis de De Morgan, numa forma que vamos usar): a negação de uma disjunção vira conjunção das negações, isto é,
Aplicado a pertinências, isso significa que é equivalente a .
Uma maneira padrão de provar uma igualdade entre conjuntos é mostrar as duas inclusões em sentido oposto:
-
; -
.
Passo 3
Prova da primeira inclusão. Começo pegando um elemento genérico do lado esquerdo e mostro que ele pertence ao lado direito.
Seja
tal que
.
Passo 4
Pelo significado de diferença de conjuntos, da hipótese
obtemos duas informações:
-
, -
.
Passo 5
Agora aplico as Leis de De Morgan à afirmação
. Como
significa a negação de
, segue que
Ou escrito logicamente:
e
.
Passo 6
Juntando as informações que já temos:
-
e implicam (pela definição de diferença); -
e implicam .
Portanto
pertence simultaneamente a
e a
.
Passo 7
Concluir a primeira inclusão: como
e
, então
. Assim mostramos que todo
em
também está em
. Logo
Passo 8
Prova da segunda inclusão. Agora pegamos um elemento genérico do lado direito e mostramos que pertence ao lado esquerdo.
Seja
tal que
.
Passo 9
Pela definição de interseção, da hipótese
seguem:
-
, -
.
Passo 10
Cada uma das duas afirmações dá, pela definição de diferença:
- de
obtemos e ; - de
obtemos e .
Em particular, a informação útil é que
(aparece em ambas) e que
e
.
Passo 11
Novamente aplicando De Morgan (na direção inversa): se
e
, então não é verdade que
ou
; isto é,
Juntando com
, temos
e
, portanto
.
Passo 12
Concluir a segunda inclusão: todo
de
pertence a
. Logo
Passo 13
Como mostramos ambas inclusões
concluímos que os dois conjuntos são iguais. Boa! A igualdade está provada elemento a elemento.