Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto E. Prove que:
C \backslash(A \cup B)=(C \backslash A) \cap(C \backslash B).

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são subconjuntos de um conjunto E. Pede para provar a igualdade
C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).
Ou seja, mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são exatamente os mesmos (contêm os mesmos elementos).

Passo 2

Antes de começar, vamos lembrar as definições e algumas equivalências lógicas que usaremos (tudo explicadinho, sem pular etapas):
  • Definição de diferença de conjuntos: x \in C \setminus D significa, por definição, que x \in C e x \notin D.
  • Definição de união: x \in A \cup B significa que x \in A ou x \in B (isto é, x \in A \lor x \in B).
  • Definição de interseção: x \in X \cap Y significa que x \in X e x \in Y (isto é, x \in X \land x \in Y).
  • Regra lógica importante (Leis de De Morgan, numa forma que vamos usar): a negação de uma disjunção vira conjunção das negações, isto é, \neg\,(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q).Aplicado a pertinências, isso significa que x \notin A \cup B é equivalente a (x \notin A) \land (x \notin B).
Uma maneira padrão de provar uma igualdade entre conjuntos é mostrar as duas inclusões em sentido oposto:
  1. C \setminus (A \cup B) \subseteq (C \setminus A) \cap (C \setminus B);
  2. (C \setminus A) \cap (C \setminus B) \subseteq C \setminus (A \cup B).

Passo 3

Prova da primeira inclusão. Começo pegando um elemento genérico do lado esquerdo e mostro que ele pertence ao lado direito.
Seja x tal que x \in C \setminus (A \cup B).

Passo 4

Pelo significado de diferença de conjuntos, da hipótese x \in C \setminus (A \cup B) obtemos duas informações:
  • x \in C,
  • x \notin A \cup B.

Passo 5

Agora aplico as Leis de De Morgan à afirmação x \notin A \cup B. Como x \notin (A \cup B) significa a negação de (x \in A) \lor (x \in B), segue que
x \notin A \quad\text{e}\quad x \notin B.
Ou escrito logicamente: x \notin A e x \notin B.

Passo 6

Juntando as informações que já temos:
  • x \in C e x \notin A implicam x \in C \setminus A (pela definição de diferença);
  • x \in C e x \notin B implicam x \in C \setminus B.
Portanto x pertence simultaneamente a C \setminus A e a C \setminus B.

Passo 7

Concluir a primeira inclusão: como x \in C \setminus A e x \in C \setminus B, então x \in (C \setminus A) \cap (C \setminus B). Assim mostramos que todo x em C \setminus (A \cup B) também está em (C \setminus A) \cap (C \setminus B). Logo
C \setminus (A \cup B) \subseteq (C \setminus A) \cap (C \setminus B).

Passo 8

Prova da segunda inclusão. Agora pegamos um elemento genérico do lado direito e mostramos que pertence ao lado esquerdo.
Seja x tal que x \in (C \setminus A) \cap (C \setminus B).

Passo 9

Pela definição de interseção, da hipótese x \in (C \setminus A) \cap (C \setminus B) seguem:
  • x \in C \setminus A,
  • x \in C \setminus B.

Passo 10

Cada uma das duas afirmações dá, pela definição de diferença:
  • de x \in C \setminus A obtemos x \in C e x \notin A;
  • de x \in C \setminus B obtemos x \in C e x \notin B.
Em particular, a informação útil é que x \in C (aparece em ambas) e que x \notin A e x \notin B.

Passo 11

Novamente aplicando De Morgan (na direção inversa): se x \notin A e x \notin B, então não é verdade que x \in A ou x \in B; isto é,
x \notin A \cup B.
Juntando com x \in C, temos x \in C e x \notin A \cup B, portanto x \in C \setminus (A \cup B).

Passo 12

Concluir a segunda inclusão: todo x de (C \setminus A) \cap (C \setminus B) pertence a C \setminus (A \cup B). Logo
(C \setminus A) \cap (C \setminus B) \subseteq C \setminus (A \cup B).

Passo 13

Como mostramos ambas inclusões
C \setminus (A \cup B) \subseteq (C \setminus A) \cap (C \setminus B) \quad\text{e}\quad (C \setminus A) \cap (C \setminus B) \subseteq C \setminus (A \cup B),
concluímos que os dois conjuntos são iguais. Boa! A igualdade está provada elemento a elemento.

Resposta

C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)

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