Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto E. Prove que:
CE(A cap B)=CE A cup CE B.

Passo 1

Beleza, aqui a tarefa é provar que, para quaisquer subconjuntos CE(A cap B) ;=; CEA ;cup; CEB de um universo CEX ;=; ,xin E mid xnotin X , valha
Isso é um caso das chamadas “Leis de De Morgan” para conjuntos. Para tocar isso, vamos usar a definição de complemento relativo:
Vamos provar a igualdade mostrando as duas inclusões:
  1. .
  2. .

Passo 2

Prova da inclusão xnotin Acap B Longrightarrow (xnotin A);ou;(xnotin B) .
  1. Pegue um .
  2. Por definição, isso significa:
    • , e
    • .
  3. Mas saber que é o mesmo que negar “ e ”. Pela lógica, a negação de “p e q” é “não-p ou não-q”. Logo:
  4. Se , então . Se , então .
  5. Portanto .
    Assim, qualquer de cai em .

Passo 3

Prova da inclusão .
  1. Pegue um .
  2. Então, por definição de união, ou:
    • , ou
    • .
  3. Se , então e . Analogamente, se , então . Em qualquer caso, temos ou .
  4. Mas “ ou ” é a negação de “ e ”, logo .
  5. Como já vimos , juntando tudo dá .

Passo 4

Juntando as duas inclusões:
CE(A cap B)subseteq CEA cup CEB e CEA cup CEBsubseteq CE(A cap B),
concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

boxedCE(A cap B);=;CEA;cup;CEB

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