Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
.
Passo 1
Beleza, aqui a tarefa é provar que, para quaisquer subconjuntos
de um universo
, valha
Isso é um caso das chamadas “Leis de De Morgan” para conjuntos. Para tocar isso, vamos usar a definição de complemento relativo:
Vamos provar a igualdade mostrando as duas inclusões:
-
. -
.
Passo 2
Prova da inclusão
.
- Pegue um
. - Por definição, isso significa:
-
, e -
.
-
- Mas saber que
é o mesmo que negar “ e ”. Pela lógica, a negação de “p e q” é “não-p ou não-q”. Logo: - Se
, então . Se , então . - Portanto
.
Assim, qualquerde cai em .
Passo 3
Prova da inclusão
.
- Pegue um
. - Então, por definição de união, ou:
-
, ou -
.
-
- Se
, então e . Analogamente, se , então . Em qualquer caso, temos ou . - Mas “
ou ” é a negação de “ e ”, logo . - Como já vimos
, juntando tudo dá .
Passo 4
Juntando as duas inclusões:
concluímos que os dois conjuntos são iguais.