Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja
uma família de subconjuntos de
. Prove que:
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade de conjuntos
Informações dadas:
é um subconjunto de
e
é uma família de subconjuntos de
(isto é, para todo
temos
). A meta é mostrar que os dois conjuntos acima são exatamente o mesmo conjunto (têm os mesmos elementos).
Passo 2
Estratégia didática que vamos usar (muito usada em provas): para mostrar que dois conjuntos
e
são iguais é suficiente provar duas inclusões:
Aqui vamos aplicar essa ideia com
e
.
Antes de começar a caçar elementos, lembre das definições básicas (vou explicar lentamente):
- Definição de união:
significa "existe um índice tal que ". Em símbolos: com . - Definição de interseção:
significa " e ". Em símbolos: .
Passo 3
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pela definição de interseção, isso significa que
e
. Pela definição de união, a segunda parte dá
tal que
. Juntando as duas informações temos
e
para esse mesmo
, isto é,
Como existe um índice
com
, pela definição de união concluímos que
Como
foi arbitrário, provamos que
Passo 4
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pela definição de união, existe algum
com
. Pela definição de interseção, isso significa que
e
. A partir de
concluímos
. Juntando com
obtemos que
. Como
foi arbitrário, segue que
Passo 5
Conclusão: das inclusões nos Passos 3 e 4 temos as duas inclusões opostas, portanto os conjuntos são iguais. Intuitivamente: pegar
e depois intersectar com a união é o mesmo que, para cada
, pegar
e tomar a união desses resultados — o elemento pertence ao lado esquerdo se e somente se pertence a algum
e também a
, que é exatamente a condição para pertencer ao lado direito.
Exemplo rápido para fixar (apenas para ajudar a entender): se
e
, a igualdade vira a já conhecida
que é o caso finito dessa propriedade.