Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que:
Estas leis de distributividade e leis de Morgan podem ser generalizadas. Seja \left(A_{i}\right)_{i \in I} uma família de subconjuntos de X. Prove que: A \cap\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcup_{i \in I}\left(A_{i} \cap A\right) ;

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade de conjuntos
A \cap\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\left(A_i\cap A\right).
Informações dadas: A é um subconjunto de X e \left(A_i\right)_{i\in I} é uma família de subconjuntos de X (isto é, para todo i\in I temos A_i\subseteq X). A meta é mostrar que os dois conjuntos acima são exatamente o mesmo conjunto (têm os mesmos elementos).

Passo 2

Estratégia didática que vamos usar (muito usada em provas): para mostrar que dois conjuntos U e V são iguais é suficiente provar duas inclusões:
U\subseteq V\quad\text{e}\quad V\subseteq U.
Aqui vamos aplicar essa ideia com U=A\cap\big(\bigcup_{i\in I}A_i\big) e V=\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A).
Antes de começar a caçar elementos, lembre das definições básicas (vou explicar lentamente):
  • Definição de união: x\in\bigcup_{i\in I}A_i significa "existe um índice i\in I tal que x\in A_i". Em símbolos: \exists i\in I com x\in A_i.
  • Definição de interseção: x\in B\cap C significa " x\in B e x\in C ". Em símbolos: x\in B\cap C\iff (x\in B)\wedge (x\in C).

Passo 3

Provar A\cap\big(\bigcup_{i\in I}A_i\big)\subseteq\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A).
Seja x um elemento arbitrário tal que
x\in A\cap\bigg(\bigcup_{i\in I}A_i\bigg).
Pela definição de interseção, isso significa que x\in A e x\in\bigcup_{i\in I}A_i. Pela definição de união, a segunda parte dá \exists i\in I tal que x\in A_i. Juntando as duas informações temos x\in A e x\in A_i para esse mesmo i, isto é,
x\in A_i\cap A.
Como existe um índice i\in I com x\in A_i\cap A, pela definição de união concluímos que
x\in\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A).
Como x foi arbitrário, provamos que
A\cap\bigg(\bigcup_{i\in I}A_i\bigg)\subseteq\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A).

Passo 4

Provar \bigcup_{i\in I}(A_i\cap A)\subseteq A\cap\big(\bigcup_{i\in I}A_i\big).
Seja x um elemento arbitrário tal que
x\in\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A).
Pela definição de união, existe algum i\in I com x\in A_i\cap A. Pela definição de interseção, isso significa que x\in A_i e x\in A. A partir de x\in A_i concluímos x\in\bigcup_{i\in I}A_i. Juntando com x\in A obtemos que x\in A\cap\big(\bigcup_{i\in I}A_i\big). Como x foi arbitrário, segue que
\bigcup_{i\in I}(A_i\cap A)\subseteq A\cap\bigg(\bigcup_{i\in I}A_i\bigg).

Passo 5

Conclusão: das inclusões nos Passos 3 e 4 temos as duas inclusões opostas, portanto os conjuntos são iguais. Intuitivamente: pegar A e depois intersectar com a união é o mesmo que, para cada i, pegar A_i\cap A e tomar a união desses resultados — o elemento pertence ao lado esquerdo se e somente se pertence a algum A_i e também a A, que é exatamente a condição para pertencer ao lado direito.
Exemplo rápido para fixar (apenas para ajudar a entender): se I=\{1,2\} e A_1=B,\;A_2=C, a igualdade vira a já conhecida
A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),
que é o caso finito dessa propriedade.

Resposta

A\cap\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\left(A_i\cap A\right)

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