Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Mostre que:
(A cup(B cap C))=(barC cup barB) cap barA.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem três conjuntos ,A cup (B cap C), ;=; (bar C ;cup; bar B);cap;bar A , e . A missão é mostrar que
O conteúdo é Teoria dos Conjuntos: operações de união ( ), interseção ( ), complemento ( ) e, em especial, as Leis de De Morgan. Vamos usar justamente essas leis pra provar a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de De Morgan pra complemento de união:
Xcup Y ;=; overline X;cap;overline Y
Aqui, ,Acup (Bcap C), =overline A ;cap; (Bcap C) e . Então

Passo 3

Agora precisamos lidar com Bcap C =overline B;cup;overline C . De Morgan também diz que
,Acup (Bcap C), =overline A ;cap;(overline B;cup;overline C)
Substituindo de volta, fica

Passo 4

Por fim, usamos a comutatividade da união: ,Acup (Bcap C), =(overline C;cup;overline B);cap;overline A . E escrevemos o resultado em ordem bonita:

Resposta

boxed,A cup (B cap C), ;=; (bar C ;cup; bar B);cap;bar A

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