Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Exatamente um ocorre: (A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C).
Passo 1
O enunciado pede: expressar, usando união, interseção e complementação, o evento “exatamente um ocorre” entre os três eventos A, B e C.
Informações dadas:
Os eventos são A, B e C (não há mais dados numéricos).
A tarefa é escrever o evento “exatamente um dos três ocorre” apenas em termos das operações \cup, \cap e complemento (barra).
O que será respondido: uma expressão para o evento “exatamente um ocorre” e uma forma alternativa equivalente, também com \cup, \cap e complemento.
Passo 2
Entender a frase “exatamente um ocorre”. Em linguagem de conjuntos de resultados (eventos), “exatamente um ocorre” significa: ou A ocorre e os outros dois não ocorrem, ou B ocorre e os outros dois não ocorrem, ou C ocorre e os outros dois não ocorrem. Vou explicar cada ideia e o símbolo que a representa.
“Não ocorre” de A é o complemento de A, denotado \bar{A}. O complemento \bar{A} é o conjunto dos resultados em que A não acontece.
"Ocorrer A e não ocorrer B e não ocorrer C" corresponde à interseção dos três conjuntos: A (ocorre) com \bar{B} (não B) com \bar{C} (não C), ou seja, A \cap \bar{B} \cap \bar{C}.
Similarmente para as outras duas opções: \bar{A} \cap B \cap \bar{C} e \bar{A} \cap \bar{B} \cap C.
Passo 3
Juntar as três possibilidades com “ou” significa usar a união \cup. Assim a expressão que reúne todas as situações em que exatamente um dos eventos ocorre é a união das três interseções montadas no passo anterior.
Apresentando a expressão:
(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C).
Vou explicar por que essa expressão cobre exatamente os casos desejados: cada termo corresponde a um único evento ocorrendo e os outros dois não; a união permite que qualquer um dos três termos aconteça. Não há sobreposição entre esses termos (ver passo seguinte), então não contam dois acontecimentos ao mesmo tempo.
Passo 4
Mostrar que os três termos da união são disjuntos (par a par não têm interseção), o que garante que cada resultado da união pertence a exatamente um dos termos — isso coincide com a ideia de “exatamente um”.
Exemplo de razão: considere os dois primeiros termos
(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cap (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}).
Qualquer elemento nesta interseção teria que pertencer simultaneamente a A e a \bar{A}, o que é impossível. Portanto essa interseção é o conjunto vazio \varnothing. Mesma argumentação vale para qualquer par distinto dos três termos (sempre aparece X e \bar{X} simultaneamente), logo são disjuntos.
Como consequência, a união acima não “conta” duas vezes nem inclui pontos em que ocorrem dois ou três eventos.
Passo 5
Apresentar uma forma alternativa, às vezes mais compacta, também apenas com \cup, \cap e complementos.
Raciocínio: “exatamente um ocorre” equivale a “pelo menos um ocorre” e “não ocorrem dois ou três simultaneamente”. O evento “pelo menos um ocorre” é A \cup B \cup C. O evento “ocorrem dois ou três” é contido na união das interseções de pares (A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C). Então excluímos esses casos usando complemento e interseção:
Primeiro escrever a exclusão como diferença de conjuntos:
(A \cup B \cup C)\setminus\bigl((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\bigr).
Substituindo diferença por interseção com complemento (pois X\setminus Y = X\cap \bar{Y}) obtemos a forma com as operações pedidas:
(A \cup B \cup C)\cap \overline{(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)}.
Esta expressão é equivalente à união dos três termos dada no passo 3 (pode-se provar aplicando leis de De Morgan e distributividade).
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar a ideia. Seja um espaço \Omega=\{1,2,3,4\} com
A=\{1\},\quad B=\{2\},\quad C=\{3\}.
Então cada termo como A\cap\bar B\cap\bar C seleciona exatamente o elemento de A (aqui 1), e a união dos três termos dá \{1,2,3\}, que são exatamente os casos em que só ocorre um dos eventos. Se houvesse um elemento que pertence a dois eventos simultaneamente, ele seria excluído pela construção (porque não pertence a nenhum dos três termos simples).
Resposta
(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)
(A \cup B \cup C)\cap \overline{(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)}