Os efeitos de descargas parciais na degradação de materiais de cavidades isolantes têm importantes implicações na vida útil de componentes de alta voltagem. Considere a seguinte amostra de
larguras de pulso de descargas lentas em uma cavidade cilíndrica de polietileno:
Com base nesses dados, faça o que se pede:
(a) Calcule a média amostral.
(b) Determine o primeiro quartil
e o terceiro quartil
.
(c) Calcule a amplitude interquartílica:
(d) Determine os limites para identificação de outliers moderados, dados por:
(e) Identifique quais observações podem ser classificadas como outliers moderados.
(f) Determine os limites para identificação de outliers extremos, dados por:
(g) Identifique quais observações podem ser classificadas como outliers extremos.
(h) Construa o boxplot dos dados.
(i) Com base no boxplot e nos cálculos realizados, comente sobre a presença de assimetria na distribuição dos dados.
(a) Calcule a média amostral.
(b) Determine o primeiro quartil
(c) Calcule a amplitude interquartílica:
(f) Determine os limites para identificação de outliers extremos, dados por:
(h) Construa o boxplot dos dados.
(i) Com base no boxplot e nos cálculos realizados, comente sobre a presença de assimetria na distribuição dos dados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para ficar tudo organizado. Dados: uma amostra com
larguras de pulso (em alguma unidade) já ordenadas em ordem crescente:
O enunciado pede:
(a) média amostral;
(b) e
;
(c) amplitude interquartílica ;
(d) limites para outliers moderados e
;
(e) identificar outliers moderados;
(f) limites para outliers extremos e
;
(g) identificar outliers extremos;
(h) construir/descrição do boxplot;
(i) comentar sobre assimetria com base no boxplot e nos cálculos.
(a) média amostral;
(b)
(c) amplitude interquartílica
(d) limites para outliers moderados
(e) identificar outliers moderados;
(f) limites para outliers extremos
(g) identificar outliers extremos;
(h) construir/descrição do boxplot;
(i) comentar sobre assimetria com base no boxplot e nos cálculos.
Agora que está tudo claro, começo os cálculos passo a passo.
Passo 2
Cálculo da média amostral — procedimento e razão:
A média amostral é a soma de todas as observações dividida por
. Fórmula:
onde
são as observações e
o tamanho da amostra.
Vou somar as observações (faça sempre com cuidado nas provas; somar em blocos ajuda a reduzir erro). Soma encontrada:
Agora divido por
:
Explicação didática rápida: a média é o “centro de massa” aritmético dos dados. Valores extremos (muito pequenos ou muito grandes) puxam a média na direção deles — por isso, ao ver a média comparada com a mediana, já se obtém pista de assimetria.
Passo 3
Determinar
e
— método (passo a passo) e aplicação:
Regra adotada (muito usada em estatística descritiva quando
é ímpar):
- A mediana é o valor na posição
. - Como
é ímpar, a mediana é a observação de ordem . - Para
(primeiro quartil) toma-se a mediana da metade inferior (observações 1 a 12). - Para
(terceiro quartil) toma-se a mediana da metade superior (observações 14 a 25).
Quando a metade tem número par de observações (aqui 12), a mediana dessa metade é a média das duas observações centrais dessa metade.
Aplicando:
- Mediana (posição
): (útil para referência). - Metade inferior: posições
a . As duas observações centrais dessa metade são as posições e (porque ), correspondentes a e . Assim:
- Metade superior: posições
a . As duas observações centrais dessa metade são as posições relativas e nessa metade, que correspondem às observações globais e . Assim:
Comentário prático: sempre anote os índices das posições; para
ímpar a mediana fica exatamente no meio e não entra nas metades.
Passo 4
Calcular a amplitude interquartílica
:
Definição:
Substituindo:
Interpretação didática:
mede a dispersão da metade central dos dados (50% centrais). Ao contrário do desvio-padrão, é robusto a outliers.
Passo 5
Determinar os limites para identificação de outliers moderados:
Fórmulas:
Cálculos:
Explicação: quaisquer observações fora do intervalo
são consideradas outliers moderados (à esquerda se <LI, à direita se >LS).
Passo 6
Identificar as observações que são outliers moderados:
Compare cada observação com os limites
e
.
Observações menores que
:
(essas quatro são <
).
Observações maiores que
:
(essa é >
).
Portanto as observações classificadas como outliers moderados são:
Didática: um valor é “moderado” se está além de
vezes o
a partir dos quartis.
Passo 7
Determinar os limites para identificação de outliers extremos:
Fórmulas:
Cálculos:
Interpretação: valores fora do intervalo
são considerados outliers extremos (muito distantes do corpo central dos dados).
Passo 8
Identificar as observações que são outliers extremos:
Comparando com
e
:
Observações menores que
:
(são <
). Note que
, então
é moderado mas não extremo.
Observações maiores que
:
nenhuma, pois .
nenhuma, pois
Portanto os outliers extremos são:
Passo 9
Como construir o boxplot (passo a passo prático e quais pontos marcar):
- Caixa (box): desenhar de
até , ou seja de até . - Mediana: traçar uma linha vertical dentro da caixa em
. - Whiskers (linhas que saem da caixa):
- O whisker inferior vai até o menor valor que NÃO é outlier moderado, isto é, até o menor
tal que . Aqui o menor valor é . Portanto whisker inferior termina em . - O whisker superior vai até o maior valor que NÃO é outlier moderado, isto é, o maior
. Aqui o maior valor é . Portanto whisker superior termina em .
- O whisker inferior vai até o menor valor que NÃO é outlier moderado, isto é, até o menor
- Pontos isolados (outliers):
- Outliers moderados que NÃO são extremos (pontos entre
e à esquerda, ou entre e à direita) devem ser marcados como pontos separados. Aqui (entre e ) e (entre e ) seriam marcados como outliers moderados. - Outliers extremos (fora de
) normalmente marcados com símbolo distinto (por ex. estrela) ou também pontos mas destacando sua “extremidade”: aqui , , são outliers extremos (menores que ).
- Outliers moderados que NÃO são extremos (pontos entre
- Eixos e escala: escolher escala que mostre bem o agrupamento em torno de
- e permita visualizar os outliers à esquerda e à direita.
Resumo numérico para o boxplot:
- Caixa:
- Mediana:
- Whiskers:
- Outliers moderados marcados:
- Outliers extremos marcados:
Passo 10
Comentário sobre assimetria com base no boxplot e nos cálculos (explicação didática e conclusão):
- Observação numérica rápida: a média calculada foi
e a mediana é . Quando a média é menor que a mediana ( ), isso indica tendência de assimetria à esquerda (assimetria negativa), porque há alguns valores muito pequenos que puxam a média para baixo. - No boxplot:
- A caixa (do primeiro ao terceiro quartil) está centrada em torno de valores altos (
, ), e a mediana fica perto do teto da caixa (ligeiramente deslocada para cima dentro da caixa). - Há vários outliers na cauda esquerda (três extremos em
e um moderado em ), enquanto à direita há apenas um outlier moderado ( ) e nenhum extremo.
- A caixa (do primeiro ao terceiro quartil) está centrada em torno de valores altos (
- Conclusão clara e prática: os dados apresentam assimetria negativa (assimetria à esquerda) — a distribuição tem uma cauda mais longa para valores menores, ou seja, há alguns valores muito pequenos que tornam a média menor que a mediana. O boxplot mostraria essa situação por ter vários pontos isolados à esquerda.
Comentário motivador: isto é bem típico em medidas físicas quando há falhas ou leituras muito pequenas ocasionais — aparecem como outliers à esquerda. Na prova, olhar para comparação média versus mediana e para a posição/quantidade de outliers no boxplot já te dá a resposta rápida sobre a direção da assimetria.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Outliers moderados:
(f)
(g) Outliers extremos:
(h) Boxplot (resumo numérico):
- Caixa:
- Mediana:
- Whiskers: de
até - Outliers moderados (pontos):
- Outliers extremos (pontos destacados):
(i) A distribuição apresenta assimetria negativa (à esquerda): a média
é menor que a mediana
e há vários outliers na cauda esquerda.