Os efeitos de descargas parciais na degradação de materiais de cavidades isolantes têm importantes implicações na vida útil de componentes de alta voltagem. Considere a seguinte amostra de n=25 larguras de pulso de descargas lentas em uma cavidade cilíndrica de polietileno:
5,3 \quad 8,2 \quad 13,8 \quad 74,1 \quad 85,3 \quad 88,0 \quad 90,2 \quad 91,5 \quad 92,4 \quad 92,9 \quad 93,6 \quad 94,3 \quad 94,8 94,9 \quad 95,5 \quad 95,8 \quad 95,9 \quad 96,6 \quad 96,7 \quad 98,1 \quad 99,0 \quad 101,4 \quad 103,7 \quad 106,0 \quad 113,5
Com base nesses dados, faça o que se pede:
(a) Calcule a média amostral.
(b) Determine o primeiro quartil \left(Q_{1}\right) e o terceiro quartil \left(Q_{3}\right).
(c) Calcule a amplitude interquartílica:
A I Q=Q_{3}-Q_{1}
(d) Determine os limites para identificação de outliers moderados, dados por:
L I=Q_{1}-1,5 \cdot A I Q \quad \text { e } \quad L S=Q_{3}+1,5 \cdot A I Q
(e) Identifique quais observações podem ser classificadas como outliers moderados.
(f) Determine os limites para identificação de outliers extremos, dados por:
L I_{e}=Q_{1}-3 \cdot A I Q \quad \text { e } \quad L S_{e}=Q_{3}+3 \cdot A I Q
(g) Identifique quais observações podem ser classificadas como outliers extremos.
(h) Construa o boxplot dos dados.
(i) Com base no boxplot e nos cálculos realizados, comente sobre a presença de assimetria na distribuição dos dados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para ficar tudo organizado. Dados: uma amostra com n=25 larguras de pulso (em alguma unidade) já ordenadas em ordem crescente:
5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8,\;74{,}1,\;85{,}3,\;88{,}0,\;90{,}2,\;91{,}5,\;92{,}4,\;92{,}9,\;93{,}6,\;94{,}3,\;94{,}8,\;94{,}9,\;95{,}5,\;95{,}8,\;95{,}9,\;96{,}6,\;96{,}7,\;98{,}1,\;99{,}0,\;101{,}4,\;103{,}7,\;106{,}0,\;113{,}5.
O enunciado pede:
(a) média amostral;
(b) Q_1 e Q_3;
(c) amplitude interquartílica AIQ=Q_3-Q_1;
(d) limites para outliers moderados LI=Q_1-1{,}5\cdot AIQ e LS=Q_3+1{,}5\cdot AIQ;
(e) identificar outliers moderados;
(f) limites para outliers extremos LI_e=Q_1-3\cdot AIQ e LS_e=Q_3+3\cdot AIQ;
(g) identificar outliers extremos;
(h) construir/descrição do boxplot;
(i) comentar sobre assimetria com base no boxplot e nos cálculos.
Agora que está tudo claro, começo os cálculos passo a passo.

Passo 2

Cálculo da média amostral — procedimento e razão:
A média amostral é a soma de todas as observações dividida por n. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n o tamanho da amostra.
Vou somar as observações (faça sempre com cuidado nas provas; somar em blocos ajuda a reduzir erro). Soma encontrada:
\sum_{i=1}^{25} x_i = 2121{,}5.
Agora divido por n=25:
\bar{x}=\frac{2121{,}5}{25}=84{,}86.
Explicação didática rápida: a média é o “centro de massa” aritmético dos dados. Valores extremos (muito pequenos ou muito grandes) puxam a média na direção deles — por isso, ao ver a média comparada com a mediana, já se obtém pista de assimetria.

Passo 3

Determinar Q_1 e Q_3 — método (passo a passo) e aplicação:
Regra adotada (muito usada em estatística descritiva quando n é ímpar):
  • A mediana é o valor na posição \dfrac{n+1}{2}.
  • Como n=25 é ímpar, a mediana é a observação de ordem 13.
  • Para Q_1 (primeiro quartil) toma-se a mediana da metade inferior (observações 1 a 12).
  • Para Q_3 (terceiro quartil) toma-se a mediana da metade superior (observações 14 a 25).
    Quando a metade tem número par de observações (aqui 12), a mediana dessa metade é a média das duas observações centrais dessa metade.
Aplicando:
  • Mediana (posição 13): x_{13}=94{,}8 (útil para referência).
  • Metade inferior: posições 1 a 12. As duas observações centrais dessa metade são as posições 6 e 7 (porque 12/2=6), correspondentes a x_6=88{,}0 e x_7=90{,}2. Assim:
Q_1=\frac{88{,}0+90{,}2}{2}=89{,}1.
  • Metade superior: posições 14 a 25. As duas observações centrais dessa metade são as posições relativas 6 e 7 nessa metade, que correspondem às observações globais x_{19}=96{,}7 e x_{20}=98{,}1. Assim:
Q_3=\frac{96{,}7+98{,}1}{2}=97{,}4.
Comentário prático: sempre anote os índices das posições; para n ímpar a mediana fica exatamente no meio e não entra nas metades.

Passo 4

Calcular a amplitude interquartílica AIQ:
Definição:
AIQ = Q_3 - Q_1.
Substituindo:
AIQ = 97{,}4 - 89{,}1 = 8{,}3.
Interpretação didática: AIQ mede a dispersão da metade central dos dados (50% centrais). Ao contrário do desvio-padrão, é robusto a outliers.

Passo 5

Determinar os limites para identificação de outliers moderados:
Fórmulas:
LI = Q_1 - 1{,}5\cdot AIQ, \qquad LS = Q_3 + 1{,}5\cdot AIQ.
Cálculos:
1{,}5\cdot AIQ = 1{,}5 \times 8{,}3 = 12{,}45.
LI = 89{,}1 - 12{,}45 = 76{,}65, \qquad LS = 97{,}4 + 12{,}45 = 109{,}85.
Explicação: quaisquer observações fora do intervalo [LI,LS] são consideradas outliers moderados (à esquerda se <LI, à direita se >LS).

Passo 6

Identificar as observações que são outliers moderados:
Compare cada observação com os limites LI=76{,}65 e LS=109{,}85.
Observações menores que LI:
5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8,\;74{,}1
(essas quatro são < 76{,}65).
Observações maiores que LS:
113{,}5
(essa é > 109{,}85).
Portanto as observações classificadas como outliers moderados são:
5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8,\;74{,}1,\;113{,}5.
Didática: um valor é “moderado” se está além de 1{,}5 vezes o AIQ a partir dos quartis.

Passo 7

Determinar os limites para identificação de outliers extremos:
Fórmulas:
LI_e = Q_1 - 3\cdot AIQ, \qquad LS_e = Q_3 + 3\cdot AIQ.
Cálculos:
3\cdot AIQ = 3 \times 8{,}3 = 24{,}9.
LI_e = 89{,}1 - 24{,}9 = 64{,}2, \qquad LS_e = 97{,}4 + 24{,}9 = 122{,}3.
Interpretação: valores fora do intervalo [LI_e,LS_e] são considerados outliers extremos (muito distantes do corpo central dos dados).

Passo 8

Identificar as observações que são outliers extremos:
Comparando com LI_e=64{,}2 e LS_e=122{,}3:
Observações menores que LI_e:
5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8
(são < 64{,}2). Note que 74{,}1>64{,}2, então 74{,}1 é moderado mas não extremo.
Observações maiores que LS_e:
nenhuma, pois 113{,}5<122{,}3.
Portanto os outliers extremos são:
5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8.

Passo 9

Como construir o boxplot (passo a passo prático e quais pontos marcar):
  1. Caixa (box): desenhar de Q_1 até Q_3, ou seja de 89{,}1 até 97{,}4.
  2. Mediana: traçar uma linha vertical dentro da caixa em 94{,}8.
  3. Whiskers (linhas que saem da caixa):
    • O whisker inferior vai até o menor valor que NÃO é outlier moderado, isto é, até o menor x tal que x\ge LI. Aqui o menor valor \ge 76{,}65 é 85{,}3. Portanto whisker inferior termina em 85{,}3.
    • O whisker superior vai até o maior valor que NÃO é outlier moderado, isto é, o maior x\le LS. Aqui o maior valor \le 109{,}85 é 106{,}0. Portanto whisker superior termina em 106{,}0.
  4. Pontos isolados (outliers):
    • Outliers moderados que NÃO são extremos (pontos entre LI_e e LI à esquerda, ou entre LS e LS_e à direita) devem ser marcados como pontos separados. Aqui 74{,}1 (entre 64{,}2 e 76{,}65) e 113{,}5 (entre 109{,}85 e 122{,}3) seriam marcados como outliers moderados.
    • Outliers extremos (fora de [LI_e,LS_e]) normalmente marcados com símbolo distinto (por ex. estrela) ou também pontos mas destacando sua “extremidade”: aqui 5{,}3, 8{,}2, 13{,}8 são outliers extremos (menores que 64{,}2).
  5. Eixos e escala: escolher escala que mostre bem o agrupamento em torno de 90- 100 e permita visualizar os outliers à esquerda e à direita.
Resumo numérico para o boxplot:
  • Caixa: [89{,}1,\,97{,}4]
  • Mediana: 94{,}8
  • Whiskers: [85{,}3,\,106{,}0]
  • Outliers moderados marcados: 74{,}1,\;113{,}5
  • Outliers extremos marcados: 5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8

Passo 10

Comentário sobre assimetria com base no boxplot e nos cálculos (explicação didática e conclusão):
  1. Observação numérica rápida: a média calculada foi \bar{x}=84{,}86 e a mediana é 94{,}8. Quando a média é menor que a mediana ( \bar{x}<\text{mediana}), isso indica tendência de assimetria à esquerda (assimetria negativa), porque há alguns valores muito pequenos que puxam a média para baixo.
  2. No boxplot:
    • A caixa (do primeiro ao terceiro quartil) está centrada em torno de valores altos ( Q_1=89{,}1, Q_3=97{,}4), e a mediana 94{,}8 fica perto do teto da caixa (ligeiramente deslocada para cima dentro da caixa).
    • Há vários outliers na cauda esquerda (três extremos em 5{,}3,8{,}2,13{,}8 e um moderado em 74{,}1), enquanto à direita há apenas um outlier moderado ( 113{,}5) e nenhum extremo.
  3. Conclusão clara e prática: os dados apresentam assimetria negativa (assimetria à esquerda) — a distribuição tem uma cauda mais longa para valores menores, ou seja, há alguns valores muito pequenos que tornam a média menor que a mediana. O boxplot mostraria essa situação por ter vários pontos isolados à esquerda.
Comentário motivador: isto é bem típico em medidas físicas quando há falhas ou leituras muito pequenas ocasionais — aparecem como outliers à esquerda. Na prova, olhar para comparação média versus mediana e para a posição/quantidade de outliers no boxplot já te dá a resposta rápida sobre a direção da assimetria.

Resposta

(a) \bar{x}=84{,}86
(b) Q_{1}=89{,}1 \quad Q_{3}=97{,}4
(c) AIQ=8{,}3
(d) LI=76{,}65 \quad LS=109{,}85
(e) Outliers moderados: 5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8,\;74{,}1,\;113{,}5
(f) LI_{e}=64{,}2 \quad LS_{e}=122{,}3
(g) Outliers extremos: 5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8
(h) Boxplot (resumo numérico):
  • Caixa: [89{,}1,\,97{,}4]
  • Mediana: 94{,}8
  • Whiskers: de 85{,}3 até 106{,}0
  • Outliers moderados (pontos): 74{,}1,\;113{,}5
  • Outliers extremos (pontos destacados): 5{,}3,\;8{,}2,\;13{,}8
(i) A distribuição apresenta assimetria negativa (à esquerda): a média \bar{x}=84{,}86 é menor que a mediana 94{,}8 e há vários outliers na cauda esquerda.

Exercícios relacionados