Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
A, B e C ocorrem: A \cap B \cap C.

Passo 1

O enunciado pede para expressar, usando apenas união, interseção e complementação, o evento “ A, B e C ocorrem”. As informações dadas são:
  • Há três eventos do espaço amostral: A, B e C.
  • A única pergunta é representar matematicamente o evento em que os três ocorrem simultaneamente.

Passo 2

Explicando o conceito de interseção de forma direta e intuitiva: para dois eventos, a interseção A\cap B é o conjunto de resultados que estão simultaneamente em A e em B. Formalmente,
A\cap B=\{\omega \mid \omega\in A\\ \text{e}\\ \omega\in B\}.
Para três eventos, a ideia é a mesma: todos os resultados que pertencem a A, a B e a C ao mesmo tempo. Logo a notação natural é a extensão da interseção:
A\cap B\cap C=\{\omega \mid \omega\in A,\\ \omega\in B\\ \text{e}\\ \omega\in C\}.

Passo 3

Mostrar porque essa notação faz sentido em palavras: dizer “ A, B e C ocorrem” significa que qualquer resultado \omega que realize esse evento deve satisfazer simultaneamente as três condições “ \omega\in A”, “ \omega\in B” e “ \omega\in C”. A forma matemática que impõe todas essas condições juntas é exatamente a interseção de três conjuntos, isto é A\cap B\cap C.

Passo 4

Dar uma representação equivalente usando complementos (útil em provas e aplicações): pelas Leis de De Morgan, a interseção de eventos pode ser escrita como o complemento da união dos complementos. Aplicando a lei a três conjuntos:
A\cap B\cap C=\bigl(A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\bigr)^{c}.
Isto diz, em palavras: “todos os três ocorrem” é equivalente a “não ocorre nenhum dos complementos”, ou seja, não ocorre pelo menos um deles não acontece.

Passo 5

Verificação lógica de pertença (checagem passo a passo): mostrar que as duas formas são equivalentes por lógica
  • Se \omega\in A\cap B\cap C então \omega\notin A^{c}, \omega\notin B^{c} e \omega\notin C^{c}. Portanto \omega\notin A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}, ou seja \omega\in\bigl(A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\bigr)^{c}.
  • Reciprocamente, se \omega\in\bigl(A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\bigr)^{c} então \omega\notin A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}, logo \omega\notin A^{c}, \omega\notin B^{c}, \omega\notin C^{c}, o que implica \omega\in A\cap B\cap C.
    Assim as duas expressões são idênticas.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: num lançamento de três moedas, tome A=“primeira moeda deu cara”, B=“segunda deu cara”, C=“terceira deu cara”. O evento “ A, B e C ocorrem” é exatamente o resultado (\text{cara},\text{cara},\text{cara}), que é o único elemento de A\cap B\cap C.

Resposta

\,A\cap B\cap C\,

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