Sejam
três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
e
ocorrem:
.
Passo 1
O enunciado pede para expressar, usando apenas união, interseção e complementação, o evento “
,
e
ocorrem”. As informações dadas são:
- Há três eventos do espaço amostral:
, e . - A única pergunta é representar matematicamente o evento em que os três ocorrem simultaneamente.
Passo 2
Explicando o conceito de interseção de forma direta e intuitiva: para dois eventos, a interseção
é o conjunto de resultados que estão simultaneamente em
e em
. Formalmente,
Para três eventos, a ideia é a mesma: todos os resultados que pertencem a
, a
e a
ao mesmo tempo. Logo a notação natural é a extensão da interseção:
Passo 3
Mostrar porque essa notação faz sentido em palavras: dizer “
,
e
ocorrem” significa que qualquer resultado
que realize esse evento deve satisfazer simultaneamente as três condições “
”, “
” e “
”. A forma matemática que impõe todas essas condições juntas é exatamente a interseção de três conjuntos, isto é
.
Passo 4
Dar uma representação equivalente usando complementos (útil em provas e aplicações): pelas Leis de De Morgan, a interseção de eventos pode ser escrita como o complemento da união dos complementos. Aplicando a lei a três conjuntos:
Isto diz, em palavras: “todos os três ocorrem” é equivalente a “não ocorre nenhum dos complementos”, ou seja, não ocorre pelo menos um deles não acontece.
Passo 5
Verificação lógica de pertença (checagem passo a passo): mostrar que as duas formas são equivalentes por lógica
- Se
então , e . Portanto , ou seja . - Reciprocamente, se
então , logo , , , o que implica .
Assim as duas expressões são idênticas.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: num lançamento de três moedas, tome
=“primeira moeda deu cara”,
=“segunda deu cara”,
=“terceira deu cara”. O evento “
,
e
ocorrem” é exatamente o resultado
, que é o único elemento de
.