Sejam
três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Pelo menos um ocorre:
.
Pelo menos um ocorre:
Passo 1
O enunciado dá três eventos
,
e
de um espaço amostral e pede: expressar, usando união, interseção e complementação, o evento “Pelo menos um ocorre”.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Existem três eventos nomeados
, e . - A pergunta é: como escrever formalmente o evento “pelo menos um ocorre” usando apenas as operações união, interseção e complemento.
Passo 2
Vamos recordar o significado das operações (explicação bem didática):
- A união
significa “ocorre ou (ou ambos)”. Mais formal: um resultado pertence a se ou . - A interseção
significa “ocorre e ao mesmo tempo”. Ou seja, se e . - O complemento
significa "não ocorre ". Então se .
Essas definições valem também quando há três eventos: por exemplo
é o conjunto de resultados em que pelo menos um dos três ocorre.
Passo 3
Interpretando literalmente “pelo menos um ocorre”: isso quer dizer “ocorre
ou
ou
(pelo menos um dos três)”. Pela definição de união, a expressão direta é
.
Explanação passo a passo: um elemento
do espaço amostral pertence ao evento “pelo menos um ocorre” exatamente quando
ou
ou
. Essa condição é precisamente a condição para
.
Passo 4
Mostro agora uma expressão equivalente usando complementos e interseção (útil para cálculos de probabilidade): a expressão “pelo menos um ocorre” é o complemento do evento “nenhum ocorre”. O evento “nenhum ocorre” significa que não ocorre
, nem
, nem
, isto é
. Portanto, tomando complemento:
Passo 5
Conexo entre as duas formas usando a lei de De Morgan: a lei de De Morgan diz que
Tomando complemento em ambos os lados obtemos a equivalência
confirmando que as duas formas acima representam exatamente o mesmo evento.
Passo 6
Dica prática para prova: se precisar calcular uma probabilidade e for mais fácil calcular “nenhum ocorre”, use a forma com complemento:
Isso muitas vezes evita cálculos longos com a fórmula da união (inclusão-exclusão).