Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Pelo menos um ocorre: A \cup B \cup C.

Passo 1

O enunciado dá três eventos A, B e C de um espaço amostral e pede: expressar, usando união, interseção e complementação, o evento “Pelo menos um ocorre”.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem três eventos nomeados A, B e C.
  • A pergunta é: como escrever formalmente o evento “pelo menos um ocorre” usando apenas as operações união, interseção e complemento.

Passo 2

Vamos recordar o significado das operações (explicação bem didática):
  • A união A \cup B significa “ocorre A ou B (ou ambos)”. Mais formal: um resultado \omega pertence a A \cup B se \omega\in A ou \omega\in B.
  • A interseção A \cap B significa “ocorre A e B ao mesmo tempo”. Ou seja, \omega\in A\cap B se \omega\in A e \omega\in B.
  • O complemento A^c significa "não ocorre A". Então \omega\in A^c se \omega\notin A.
Essas definições valem também quando há três eventos: por exemplo A\cup B\cup C é o conjunto de resultados em que pelo menos um dos três ocorre.

Passo 3

Interpretando literalmente “pelo menos um ocorre”: isso quer dizer “ocorre A ou B ou C (pelo menos um dos três)”. Pela definição de união, a expressão direta é
A \cup B \cup C.
Explanação passo a passo: um elemento \omega do espaço amostral pertence ao evento “pelo menos um ocorre” exatamente quando \omega\in A ou \omega\in B ou \omega\in C. Essa condição é precisamente a condição para \omega\in A\cup B\cup C.

Passo 4

Mostro agora uma expressão equivalente usando complementos e interseção (útil para cálculos de probabilidade): a expressão “pelo menos um ocorre” é o complemento do evento “nenhum ocorre”. O evento “nenhum ocorre” significa que não ocorre A, nem B, nem C, isto é A^c \cap B^c \cap C^c. Portanto, tomando complemento:
\text{(pelo menos um ocorre)}=\left(A^c \cap B^c \cap C^c\right)^c.

Passo 5

Conexo entre as duas formas usando a lei de De Morgan: a lei de De Morgan diz que
\left(A\cup B\cup C\right)^c = A^c \cap B^c \cap C^c.
Tomando complemento em ambos os lados obtemos a equivalência
A\cup B\cup C = \left(A^c \cap B^c \cap C^c\right)^c,
confirmando que as duas formas acima representam exatamente o mesmo evento.

Passo 6

Dica prática para prova: se precisar calcular uma probabilidade e for mais fácil calcular “nenhum ocorre”, use a forma com complemento:
P(\text{pelo menos um ocorre}) = 1 - P\!\left(A^c \cap B^c \cap C^c\right).
Isso muitas vezes evita cálculos longos com a fórmula da união (inclusão-exclusão).

Resposta

A \cup B \cup C
\left(A^c \cap B^c \cap C^c\right)^c

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