Sejam A, B, C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Pelo menos dois ocorrem: (A \cap B) \cup(A \cap C) \cup(B \cap C).

Passo 1

O enunciado pede: expressar o evento “Pelo menos dois ocorrem” em termos de união, interseção e complementação, sabendo que A, B, C são três eventos de um espaço amostral.
Informações dadas:
  • São três eventos A, B e C.
  • A pergunta é: escrever o evento “pelo menos dois desses três eventos ocorrem” usando operações de conjuntos (união \cup, interseção \cap, complementação ^c).

Passo 2

Interpretando em palavras “pelo menos dois ocorrem”: isso significa que ocorrem exatamente dois eventos ou ocorrem os três. Vamos separar os casos possíveis para ficar bem explícito:
  • exatamente os dois A e B (e não C);
  • exatamente os dois A e C (e não B);
  • exatamente os dois B e C (e não A);
  • ou os três A, B e C simultaneamente.

Passo 3

Escrevendo cada caso com interseções e complementos:
  • "exatamente A e B" é o evento \;A\cap B\cap C^c\; (ocorrem A e B e não ocorre C);
  • "exatamente A e C" é \;A\cap C\cap B^c\;;
  • "exatamente B e C" é \;B\cap C\cap A^c\;;
  • “os três” é \;A\cap B\cap C\;.

Passo 4

Unindo todos os casos (exatamente dois OU três) obtemos uma expressão inicial para “pelo menos dois”:
\bigl(A\cap B\cap C^c\bigr)\\ \cup\\ \bigl(A\cap C\cap B^c\bigr)\\ \cup\\ \bigl(B\cap C\cap A^c\bigr)\\ \cup\\ \bigl(A\cap B\cap C\bigr).

Passo 5

Agora mostro que essa expressão é equivalente a uma forma mais compacta. Note que
A\cap B \;=\; \bigl(A\cap B\cap C^c\bigr)\\ \cup\\ \bigl(A\cap B\cap C\bigr),
porque os dois conjuntos à direita são disjuntos e juntos cobrem todos os resultados em que A e B ocorrem (independentemente de C). O mesmo vale para os outros pares.

Passo 6

Usando a observação do passo anterior, a união dos quatro conjuntos do passo 4 pode ser reagrupada como união das interseções par a par:
\bigl(A\cap B\cap C^c\bigr)\\ \cup\\ \bigl(A\cap B\cap C\bigr) \;=\; A\cap B,
e análogamente para os outros pares. Assim a expressão do passo 4 se simplifica para
\bigl(A\cap B\bigr)\\ \cup\\ \bigl(A\cap C\bigr)\\ \cup\\ \bigl(B\cap C\bigr).

Passo 7

Uma verificação rápida por tabela de casos (os 8 possíveis resultados em termos de ocorrência: 0 = não ocorre, 1 = ocorre) confirma a equivalência:
  • (0,0,0): nenhum — não pertence;
  • (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1): exatamente um — não pertencem;
  • (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1): exatamente dois — pertencem (cada um pertence a uma das interseções par a par);
  • (1,1,1): três — pertence (pertence a cada interseção par a par).
    Portanto a expressão \bigl(A\cap B\bigr)\cup\bigl(A\cap C\bigr)\cup\bigl(B\cap C\bigr) seleciona exatamente os casos em que pelo menos dois eventos ocorrem.

Passo 8

Observação alternativa (útil em provas): também se pode escrever “pelo menos dois” como complemento de “no máximo um”. Escrevendo “no máximo um” explícito e tomando complemento obtém-se a mesma expressão depois de simplificar. Mas a forma mais direta e usada normalmente é a união das interseções par a par.

Resposta

\;(A\cap B)\\ \cup\\ (A\cap C)\\ \cup\\ (B\cap C)\;

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