Sejam
três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos a seguir usando as operações de união, interseção e complementação:
Pelo menos dois ocorrem:
.
Pelo menos dois ocorrem:
Passo 1
O enunciado pede: expressar o evento “Pelo menos dois ocorrem” em termos de união, interseção e complementação, sabendo que
são três eventos de um espaço amostral.
Informações dadas:
Informações dadas:
- São três eventos
, e . - A pergunta é: escrever o evento “pelo menos dois desses três eventos ocorrem” usando operações de conjuntos (união
, interseção , complementação ).
Passo 2
Interpretando em palavras “pelo menos dois ocorrem”: isso significa que ocorrem exatamente dois eventos ou ocorrem os três. Vamos separar os casos possíveis para ficar bem explícito:
- exatamente os dois
e (e não ); - exatamente os dois
e (e não ); - exatamente os dois
e (e não ); - ou os três
, e simultaneamente.
Passo 3
Escrevendo cada caso com interseções e complementos:
- "exatamente
e " é o evento (ocorrem e e não ocorre ); - "exatamente
e " é ; - "exatamente
e " é ; - “os três” é
.
Passo 4
Unindo todos os casos (exatamente dois OU três) obtemos uma expressão inicial para “pelo menos dois”:
Passo 5
Agora mostro que essa expressão é equivalente a uma forma mais compacta. Note que
porque os dois conjuntos à direita são disjuntos e juntos cobrem todos os resultados em que
e
ocorrem (independentemente de
). O mesmo vale para os outros pares.
Passo 6
Usando a observação do passo anterior, a união dos quatro conjuntos do passo 4 pode ser reagrupada como união das interseções par a par:
e análogamente para os outros pares. Assim a expressão do passo 4 se simplifica para
Passo 7
Uma verificação rápida por tabela de casos (os 8 possíveis resultados em termos de ocorrência:
= não ocorre,
= ocorre) confirma a equivalência:
-
: nenhum — não pertence; -
: exatamente um — não pertencem; -
: exatamente dois — pertencem (cada um pertence a uma das interseções par a par); -
: três — pertence (pertence a cada interseção par a par).
Portanto a expressãoseleciona exatamente os casos em que pelo menos dois eventos ocorrem.
Passo 8
Observação alternativa (útil em provas): também se pode escrever “pelo menos dois” como complemento de “no máximo um”. Escrevendo “no máximo um” explícito e tomando complemento obtém-se a mesma expressão depois de simplificar. Mas a forma mais direta e usada normalmente é a união das interseções par a par.