Sejam A=(1,2,3,4), B=(-1,2,-3,0) e C=(0,1,0,1) três vectores de V_{4}. Calcular cada um dos seguintes produtos escalares:
A \cdot(B+C)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em V_{4}:
A = (1,2,3,4),\quad B = (-1,2,-3,0),\quad C = (0,1,0,1),
e pede o produto escalar A \cdot (B + C). Vamos usar a definição de soma de vetores em V_{4} e a definição de produto escalar em \mathbb{R}^{4}: se X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e Y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}), então
X+Y = (x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,x_{3}+y_{3},\,x_{4}+y_{4})
e
X\cdot Y = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} + x_{4}y_{4}.

Passo 2

Calcular B + C coordenada a coordenada:
B + C = \bigl(-1+0,\;2+1,\;-3+0,\;0+1\bigr) = (-1,\,3,\,-3,\,1).

Passo 3

Aplicar a definição de produto escalar entre A e B+C:
A\cdot (B+C) = 1\cdot(-1) + 2\cdot 3 + 3\cdot(-3) + 4\cdot 1.

Passo 4

Calcular cada termo e somar:
1\cdot(-1) = -1,\quad 2\cdot 3 = 6,\quad 3\cdot(-3) = -9,\quad 4\cdot 1 = 4,
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A\cdot (B+C) = -1 + 6 - 9 + 4 = 0.

Resposta

0

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