Sejam A=(1,1,1), B=(0,1,1) e C=(2,1,1) três vectores em V_{3} e seja D=x A+ +y B+z C com x, y, z três escalares.
(a) Determinar as componentes de D.
(b) Determinar x, y, z não todos nulos tais que D=O.
(c) Provar que nenhuma escolha de x, y, z faz D=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{V}_3:
A=(1,1,1),\quad B=(0,1,1),\quad C=(2,1,1)
e define
D = xA + yB + zC
com x,y,z escalares.
O que precisamos fazer é:
  1. calcular as componentes de D;
  2. achar uma combinação não trivial que dê D=O;
  3. mostrar que não existe escolha de x,y,z com D=(1,2,3).

Passo 2

Para achar as componentes de D, basta distribuir a combinação linear:
D = x(1,1,1) + y(0,1,1) + z(2,1,1).
Somando coordenada a coordenada, obtemos
D = \bigl(x + 0\cdot y + 2z,\;x + y + z,\;x + y + z\bigr)
ou seja,
D = \bigl(x + 2z,\;x + y + z,\;x + y + z\bigr).

Passo 3

Para D=O impomos cada componente igual a zero. Primeiro:
x + 2z = 0.
Depois:
x + y + z = 0.
Como a segunda e a terceira coordenadas de D são iguais, esse sistema resume-se às duas equações acima.
Da primeira tiramos x = -2z. Substituindo na segunda:
(-2z) + y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = z.
Logo todo vetor (x,y,z) que anula D é da forma
(x,y,z) = \bigl(-2z,\,z,\,z\bigr) = z\,(-2,1,1).
Para ter uma solução não trivial basta escolher z\neq 0, por exemplo (x,y,z)=(-2,1,1).

Passo 4

Para mostrar que não há escolha de x,y,z com
D = (1,2,3),
basta notar que, pela expressão de D, as segunda e terceira coordenadas são sempre iguais (ambas valem x+y+z). Mas em (1,2,3) a segunda é 2 e a terceira é 3, são diferentes. Portanto não existe solução.

Resposta

(a) D = (\,x+2z,\;x+y+z,\;x+y+z\,).
(b) As soluções de D=O são (x,y,z)=t\,(-2,1,1) com t\neq 0.
(c) Não há solução porque a segunda e a terceira coordenadas de D são iguais, ao passo que em (1,2,3) são 2 e 3.

Exercícios relacionados