Sejam
e
três vectores em
e seja
com
três escalares.
(a) Determinar as componentes de
.
(b) Determinar
não todos nulos tais que
.
(c) Provar que nenhuma escolha de
faz
.
(a) Determinar as componentes de
(b) Determinar
(c) Provar que nenhuma escolha de
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
:
e define
com
escalares.
O que precisamos fazer é:
O que precisamos fazer é:
- calcular as componentes de
; - achar uma combinação não trivial que dê
; - mostrar que não existe escolha de
com .
Passo 2
Para achar as componentes de
, basta distribuir a combinação linear:
Somando coordenada a coordenada, obtemos
ou seja,
Passo 3
Para
impomos cada componente igual a zero. Primeiro:
Depois:
Como a segunda e a terceira coordenadas de
são iguais, esse sistema resume-se às duas equações acima.
Da primeira tiramos . Substituindo na segunda:
Da primeira tiramos
Logo todo vetor
que anula
é da forma
Para ter uma solução não trivial basta escolher
, por exemplo
.
Passo 4
Para mostrar que não há escolha de
com
basta notar que, pela expressão de
, as segunda e terceira coordenadas são sempre iguais (ambas valem
). Mas em
a segunda é
e a terceira é
, são diferentes. Portanto não existe solução.
Resposta
(a)
(b) As soluções de são
com
.
(c) Não há solução porque a segunda e a terceira coordenadas de são iguais, ao passo que em
são
e
.
(b) As soluções de
(c) Não há solução porque a segunda e a terceira coordenadas de