Sejam A=(1,1,1) e B=(0,1,1) e C=(1,1,0) três vectores em V_{3} e D=x A+y B+ +z C, \operatorname{com} x, y, z escalares.
(a) Determinar as componentes de D.
(b) Se D=O, provar que x=y=z=0.
(c) Determinar x, y, z tal que D=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado trata de combinações lineares de vetores em \mathbb{R}^3. Dados
A=(1,1,1),\quad B=(0,1,1),\quad C=(1,1,0),
definimos
D = xA + yB + zC,
com escalares x,y,z. Precisamos (a) achar as componentes de D, (b) mostrar que A,B,C são independentes (isto é, D=O implica x=y=z=0) e (c) resolver para (x,y,z) de modo que D=(1,2,3).

Passo 2

Para obter as componentes de
D = x(1,1,1) + y(0,1,1) + z(1,1,0),
somamos coordenada a coordenada:
D = \bigl(x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot1,\; x\cdot1 + y\cdot1 + z\cdot1,\; x\cdot1 + y\cdot1 + z\cdot0\bigr).
Logo
D = \bigl(x+z,\; x+y+z,\; x+y\bigr).

Passo 3

Para provar independência, suponha D=O=(0,0,0)\). Então as três coordenadas de \(D\) valem zero: \[\begin{cases} x + z = 0,\\\ x + y + z = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem z = -x\]. Da terceira vem \(y = -x. Substituindo em x+y+z=0
x + (-x) + (-x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Então y=-x=0 e z=-x=0. Logo x=y=z=0, mostrando que A,B,C são linearmente independentes.

Passo 4

Para achar (x,y,z)\) tal que \(D=(1,2,3)\), igualamos a cada coordenada: \[\begin{cases} x + z = 1,\\\ x + y + z = 2,\\\ x + y = 3. \end{cases}
Da primeira: z=1-x\]. Da terceira: \(y=3-x. Substituindo em x+y+z=2:
x + (3-x) + (1-x) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4 - x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Então y = 3 - 2 = 1 e z = 1 - 2 = -1.

Resposta

(a) \displaystyle D=(x+z,\;x+y+z,\;x+y).
(b) Da comparação coordenada a coordenada vem x=y=z=0.
(c) \displaystyle x=2,\;y=1,\;z=-1.

Exercícios relacionados