Sejam
e
conjuntos tais que
. Mostre que, para todo conjunto
, vale a igualdade
Passo 1
O enunciado dá que
e
são conjuntos com
e pede para mostrar que, para todo conjunto
, vale a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
(ou seja, todo elemento de pertence a ). -
é um conjunto qualquer (arbitrário).
O que precisa ser provado: a igualdade entre os dois conjuntos acima, ou seja, que eles têm exatamente os mesmos elementos.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicando por quê): uma forma direta e elementar de provar que dois conjuntos
e
são iguais é mostrar duas inclusões:
e
. Isso é chamado de prova por dupla inclusão. Vou aplicar essa técnica aos conjuntos
e
. Essa técnica é básica e segura — na prova cada etapa consiste em tomar um elemento arbitrário de um lado e mostrar que ele pertence ao outro lado.
Passo 3
Lembretes úteis e definições (para não pular etapas):
-
significa que ou (ou ambos). -
significa que e . -
significa que se então .
Vou usar essas definições para fazer a prova elemento a elemento.
Passo 4
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
.
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
-
e -
.
Do fato
sabemos que duas possibilidades existem (definição de união):
- caso 1:
; ou - caso 2:
.
Se caso 1 ocorrer (
), então
pertence a
porque pertence à parte
da união.
Se caso 2 ocorrer (
), então, como também
, concluímos
, e assim
.
Em ambos os casos
. Como
foi arbitrário, fica demonstrada a inclusão
Passo 5
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
.
Pelo significado da união, há duas possibilidades:
Pelo significado da união, há duas possibilidades:
- caso 1:
; ou - caso 2:
.
Se caso 1 ocorrer (
), então
e
. Do fato
segue que
. Juntando com
obtemos
.
Se caso 2 ocorrer (
), usamos a hipótese
. Pela definição de subconjunto,
implica
. Além disso
implica imediatamente
. Logo
e
, ou seja,
.
Em ambos os casos
. Como
foi arbitrário, segue a inclusão
Passo 6
Como provamos ambas as inclusões
concluímos, pela propriedade da dupla inclusão, que os conjuntos são iguais. Observação rápida: em um dos ramos da prova da segunda inclusão foi essencial usar
para garantir que
implica
.
Uma alternativa rápida (só para ver outra perspectiva) é usar a distributividade da interseção sobre a união:
Como
implica
, obtemos novamente
que é exatamente a igualdade desejada.