Sejam A e B conjuntos tais que A \subset B. Mostre que, para todo conjunto C, vale a igualdade
B \cap(A \cup C)=(B \cap C) \cup A \text {. }

Passo 1

O enunciado dá que A e B são conjuntos com A \subset B e pede para mostrar que, para todo conjunto C, vale a igualdade
B \cap (A \cup C) = (B \cap C) \cup A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A \subset B (ou seja, todo elemento de A pertence a B).
  • C é um conjunto qualquer (arbitrário).
    O que precisa ser provado: a igualdade entre os dois conjuntos acima, ou seja, que eles têm exatamente os mesmos elementos.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicando por quê): uma forma direta e elementar de provar que dois conjuntos X e Y são iguais é mostrar duas inclusões: X \subset Y e Y \subset X. Isso é chamado de prova por dupla inclusão. Vou aplicar essa técnica aos conjuntos X = B \cap (A \cup C) e Y = (B \cap C) \cup A. Essa técnica é básica e segura — na prova cada etapa consiste em tomar um elemento arbitrário de um lado e mostrar que ele pertence ao outro lado.

Passo 3

Lembretes úteis e definições (para não pular etapas):
  • x \in X \cup Y significa que x \in X ou x \in Y (ou ambos).
  • x \in X \cap Y significa que x \in X e x \in Y.
  • A \subset B significa que se x \in A então x \in B.
    Vou usar essas definições para fazer a prova elemento a elemento.

Passo 4

Provar B \cap (A \cup C) \subset (B \cap C) \cup A.
Seja x um elemento arbitrário tal que x \in B \cap (A \cup C).
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
  • x \in B e
  • x \in A \cup C.
Do fato x \in A \cup C sabemos que duas possibilidades existem (definição de união):
  • caso 1: x \in A; ou
  • caso 2: x \in C.
Se caso 1 ocorrer ( x \in A), então x pertence a (B \cap C) \cup A porque pertence à parte A da união.
Se caso 2 ocorrer ( x \in C), então, como também x \in B, concluímos x \in B \cap C, e assim x \in (B \cap C) \cup A.
Em ambos os casos x \in (B \cap C) \cup A. Como x foi arbitrário, fica demonstrada a inclusão
B \cap (A \cup C) \subset (B \cap C) \cup A.

Passo 5

Provar (B \cap C) \cup A \subset B \cap (A \cup C).
Seja x um elemento arbitrário tal que x \in (B \cap C) \cup A.
Pelo significado da união, há duas possibilidades:
  • caso 1: x \in B \cap C; ou
  • caso 2: x \in A.
Se caso 1 ocorrer ( x \in B \cap C), então x \in B e x \in C. Do fato x \in C segue que x \in A \cup C. Juntando com x \in B obtemos x \in B \cap (A \cup C).
Se caso 2 ocorrer ( x \in A), usamos a hipótese A \subset B. Pela definição de subconjunto, x \in A implica x \in B. Além disso x \in A implica imediatamente x \in A \cup C. Logo x \in B e x \in A \cup C, ou seja, x \in B \cap (A \cup C).
Em ambos os casos x \in B \cap (A \cup C). Como x foi arbitrário, segue a inclusão
(B \cap C) \cup A \subset B \cap (A \cup C).

Passo 6

Como provamos ambas as inclusões
B \cap (A \cup C) \subset (B \cap C) \cup A \quad\text{e}\quad (B \cap C) \cup A \subset B \cap (A \cup C),
concluímos, pela propriedade da dupla inclusão, que os conjuntos são iguais. Observação rápida: em um dos ramos da prova da segunda inclusão foi essencial usar A \subset B para garantir que x \in A implica x \in B.
Uma alternativa rápida (só para ver outra perspectiva) é usar a distributividade da interseção sobre a união:
B \cap (A \cup C) = (B \cap A) \cup (B \cap C).
Como A \subset B implica B \cap A = A, obtemos novamente
B \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C),
que é exatamente a igualdade desejada.

Resposta

B \cap (A \cup C) = (B \cap C) \cup A

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