Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função
Ou seja, encontrar uma função
tal que
. Não há limites de integração fornecidos, então procuramos a antiderivada geral, que terá uma constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o quadrado para quebrar em termos mais simples que conhecemos como integrar. Desenvolvendo,
Agora vamos transformar cada parte em funções do cosseno (ou somas de cossenos), porque são fáceis de integrar.
Passo 3
Usar a identidade fundamental para seno ao quadrado:
Explicação rápida: essa identidade vem da fórmula
rearranjando. Aqui
é qualquer expressão (por exemplo
ou
). Aplicando às duas parcelas quadradas:
Passo 4
Tratar o termo misto
com a identidade produto-para-soma:
Derivação curta: vem das fórmulas de soma e diferença de cosseno, já que
. Aplicando com
e
:
Multiplicando por
dá
Passo 5
Agora substituímos tudo na expressão expandida e simplificamos:
Então a integral fica a soma de integrais mais simples:
Passo 6
Integrar termo a termo usando que, para constante
,
e
Aplicando essas regras a cada parcela:
Passo 7
Juntando todas as parcelas (somando as primitivas obtidas) e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral da função. Dica de prova: sempre que vir quadrado de diferença de senos, expandir e usar identidades produto-para-soma e identidade do seno ao quadrado costuma ser o caminho mais direto e seguro.