\int(\operatorname{sen} 3 x-\operatorname{sen} 2 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função
(\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=(\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}. Não há limites de integração fornecidos, então procuramos a antiderivada geral, que terá uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o quadrado para quebrar em termos mais simples que conhecemos como integrar. Desenvolvendo,
(\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}=\operatorname{sen}^{2}3x-2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x+\operatorname{sen}^{2}2x.
Agora vamos transformar cada parte em funções do cosseno (ou somas de cossenos), porque são fáceis de integrar.

Passo 3

Usar a identidade fundamental para seno ao quadrado:
\operatorname{sen}^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Explicação rápida: essa identidade vem da fórmula \cos(2u)=1-2\operatorname{sen}^{2}u rearranjando. Aqui u é qualquer expressão (por exemplo 3x ou 2x). Aplicando às duas parcelas quadradas:
\operatorname{sen}^{2}3x=\frac{1-\cos6x}{2}, \qquad \operatorname{sen}^{2}2x=\frac{1-\cos4x}{2}.

Passo 4

Tratar o termo misto -2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x com a identidade produto-para-soma:
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Derivação curta: vem das fórmulas de soma e diferença de cosseno, já que \cos(A-B)-\cos(A+B)=2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B. Aplicando com A=3x e B=2x:
\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x=\frac{1}{2}\bigl[\cos x-\cos5x\bigr].
Multiplicando por -2
-2\operatorname{sen}3x\operatorname{sen}2x= -\bigl[\cos x-\cos5x\bigr]=-\cos x+\cos5x.

Passo 5

Agora substituímos tudo na expressão expandida e simplificamos:
\begin{aligned} (\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2} &=\frac{1-\cos6x}{2}+\frac{1-\cos4x}{2}-\cos x+\cos5x\\[4pt] &=1-\frac{1}{2}\cos6x-\frac{1}{2}\cos4x-\cos x+\cos5x. \end{aligned}
Então a integral fica a soma de integrais mais simples:
\int(\operatorname{sen}3x-\operatorname{sen}2x)^{2}\,dx =\int\!1\,dx-\int\!\cos x\,dx+\int\!\cos5x\,dx-\frac{1}{2}\int\!\cos4x\,dx-\frac{1}{2}\int\!\cos6x\,dx.]

Passo 6

Integrar termo a termo usando que, para constante k,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+\text{constante},
e
\int 1\,dx = x.
Aplicando essas regras a cada parcela:
\begin{aligned} \int 1\,dx &= x,\\[4pt] \int (-\cos x)\,dx &= -\sin x,\\[4pt] \int \cos5x\,dx &= \frac{1}{5}\sin5x,\\[4pt] -\frac{1}{2}\int \cos4x\,dx &=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin4x=-\frac{1}{8}\sin4x,\\[4pt] -\frac{1}{2}\int \cos6x\,dx &=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin6x=-\frac{1}{12}\sin6x. \end{aligned}]

Passo 7

Juntando todas as parcelas (somando as primitivas obtidas) e acrescentando a constante de integração \,C, obtemos a primitiva geral da função. Dica de prova: sempre que vir quadrado de diferença de senos, expandir e usar identidades produto-para-soma e identidade do seno ao quadrado costuma ser o caminho mais direto e seguro.

Resposta

x-\sin x+\frac{1}{5}\sin5x-\frac{1}{8}\sin4x-\frac{1}{12}\sin6x+C

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