A identidade (A \cup B) \cap C=A \cup(B \cap C) é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a identidade (A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C) é verdadeira, e pede justificativa. As informações dadas são apenas as três partes A, B e C (conjuntos quaisquer). A tarefa é dizer se a igualdade vale para todo A,B,C e justificar (prova ou contraexemplo).

Passo 2

Vou lembrar o significado operacional de união e interseção, usando o método do elemento (que é o mais direto para provar igualdades de conjuntos).
  • Definição de interseção: dizer que x\in X\cap Y significa, por definição, que x\in X e x\in Y.
  • Definição de união: dizer que x\in X\cup Y significa que x\in X ou x\in Y (ou ambos).
Essas definições são cruciais porque vamos analisar pertences x\in\ldots para comparar os dois lados da igualdade.

Passo 3

Primeiro mostro uma inclusão que sempre vale: (A\cup B)\cap C \subseteq A\cup(B\cap C).
Seja x\in (A\cup B)\cap C. Pela definição de interseção, isso significa que
x\in A\cup B\quad\text{e}\quad x\in C.
Do primeiro fato temos x\in A ou x\in B. Analiso os dois casos:
  • Se x\in A, então claramente x\in A\cup(B\cap C) (pois pertence ao primeiro membro da união à direita).
  • Se x\in B e já sabemos x\in C, então x\in B\cap C, portanto x\in A\cup(B\cap C).
Como em ambos os casos x\in A\cup(B\cap C), concluímos que todo elemento de (A\cup B)\cap C pertence a A\cup(B\cap C). Logo a inclusão está provada:
(A\cup B)\cap C \subseteq A\cup(B\cap C).

Passo 4

Agora examino a inclusão inversa A\cup(B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap C. Se essa inclusão não for verdadeira em geral, a igualdade falha. Vou testar com um elemento típico de A.
Suponha a\in A e que a\notin C. Então:
  • a\in A implica a\in A\cup(B\cap C).
  • Mas a\notin C implica que a\notin (A\cup B)\cap C, porque para estar em (A\cup B)\cap C é necessário pertencer a C.
Portanto um elemento a\in A\setminus C está no lado direito A\cup(B\cap C) mas não está no lado esquerdo (A\cup B)\cap C. Isso mostra que, em geral, a inclusão inversa não vale; ou seja, a igualdade não vale para todos os conjuntos.

Passo 5

Para tornar tudo concreto, apresento um contraexemplo simples (numérico) — é a forma mais direta de demonstrar que a identidade é falsa em geral.
Escolha
A=\{1\},\quad B=\{2\},\quad C=\{2\}.
Calculo cada lado:
  • A\cup B=\{1,2\}. Assim
(A\cup B)\cap C=\{1,2\}\cap\{2\}=\{2\}.
  • B\cap C=\{2\}\cap\{2\}=\{2\}. Então
A\cup(B\cap C)=\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}.
Logo os dois lados são diferentes:
(A\cup B)\cap C=\{2\}\neq\{1,2\}=A\cup(B\cap C).
Isso prova que a igualdade não é verdadeira em geral.

Passo 6

É útil também saber quando a igualdade vale. Observação: se A\subseteq C, então todo a\in A já pertence a C, e aí não há o problema do Passo 4. Posso provar que, sob essa condição, a igualdade vale.
Se A\subseteq C então A = A\cap C. Usando a distributividade da interseção sobre a união (a lei correta é (X\cup Y)\cap Z=(X\cap Z)\cup(Y\cap Z)), temos
(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)=A\cup(B\cap C).
Portanto a igualdade vale sempre que A\subseteq C. Pelo raciocínio do Passo 4, essa condição também é necessária: se a igualdade vale para todos os B então deve ocorrer A\subseteq C. Assim a igualdade é verdadeira exatamente quando A\subseteq C.

Resposta

Não. Em geral a identidade (A\cup B)\cap C=A\cup(B\cap C) é falsa. Contraexemplo: A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{2\} (A\cup B)\cap C=\{2\}\neq\{1,2\}=A\cup(B\cap C). A igualdade só ocorre em geral quando A\subseteq C.

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