A identidade
é verdadeira? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se a identidade
é verdadeira, e pede justificativa. As informações dadas são apenas as três partes
,
e
(conjuntos quaisquer). A tarefa é dizer se a igualdade vale para todo
e justificar (prova ou contraexemplo).
Passo 2
Vou lembrar o significado operacional de união e interseção, usando o método do elemento (que é o mais direto para provar igualdades de conjuntos).
- Definição de interseção: dizer que
significa, por definição, que e . - Definição de união: dizer que
significa que ou (ou ambos).
Essas definições são cruciais porque vamos analisar pertences
para comparar os dois lados da igualdade.
Passo 3
Primeiro mostro uma inclusão que sempre vale:
.
Seja
. Pela definição de interseção, isso significa que
Do primeiro fato temos
ou
. Analiso os dois casos:
- Se
, então claramente (pois pertence ao primeiro membro da união à direita). - Se
e já sabemos , então , portanto .
Como em ambos os casos
, concluímos que todo elemento de
pertence a
. Logo a inclusão está provada:
Passo 4
Agora examino a inclusão inversa
. Se essa inclusão não for verdadeira em geral, a igualdade falha. Vou testar com um elemento típico de
.
Suponha
e que
. Então:
-
implica . - Mas
implica que , porque para estar em é necessário pertencer a .
Portanto um elemento
está no lado direito
mas não está no lado esquerdo
. Isso mostra que, em geral, a inclusão inversa não vale; ou seja, a igualdade não vale para todos os conjuntos.
Passo 5
Para tornar tudo concreto, apresento um contraexemplo simples (numérico) — é a forma mais direta de demonstrar que a identidade é falsa em geral.
Escolha
Calculo cada lado:
-
. Assim
-
. Então
Logo os dois lados são diferentes:
Isso prova que a igualdade não é verdadeira em geral.
Passo 6
É útil também saber quando a igualdade vale. Observação: se
, então todo
já pertence a
, e aí não há o problema do Passo 4. Posso provar que, sob essa condição, a igualdade vale.
Se
então
. Usando a distributividade da interseção sobre a união (a lei correta é
), temos
Portanto a igualdade vale sempre que
. Pelo raciocínio do Passo 4, essa condição também é necessária: se a igualdade vale para todos os
então deve ocorrer
. Assim a igualdade é verdadeira exatamente quando
.
Resposta
Não. Em geral a identidade
é falsa. Contraexemplo:
,
,
dá
. A igualdade só ocorre em geral quando
.