Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular
Lcos b t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de cos(bt), usando a definição Lf(t)=integral0^+inftye^-stf(t),dt e o teorema de deslocamento no eixo s: se Lf(t)=F(s) então Le^atf(t)=F(s-a). Vamos usar também a representação de Euler para o cosseno.

Passo 2

A gente sabe que a fórmula de Euler diz:
cos(bt)=e^i,b,t+e^-i,b,t2,
Pela linearidade da transformada de Laplace, temos:
Lcos(bt) =12l(Le^i b t+Le^-i b tr),

Passo 3

Agora, antes de aplicar o deslocamento, lembramos que:
L1=integral0^+inftye^-st,dt=1s,para Re(s)>0
Então, usando o teorema de deslocamento no eixo s:
Le^i b t=1s - i b,Le^-i b t=1s + i b,

Passo 4

Bastou somar e dividir por 2:
Lcos(bt) =12l(1s - i b+1s + i br) =ss^2+b^2,
Pronto! Chegamos à expressão clássica da transformada de Laplace do cosseno.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}{\cos(bt)}=\frac{s}{s2+b2},\quadRe(s)>0

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