Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular

Passo 1

A questão pede calcular a transformada de Laplace de e^a tcosh(b t). O conteúdo envolve a definição da transformada e o teorema do deslocamento em s. Vamos precisar também da transformada de cosh(b t).

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t),dt
Substituindo f(t) = e^a t cosh(b t), temos
Le^a t cosh(b t) = integral0^infty e^-s t e^a t cosh(b t),dt = integral0^infty e^-(s-a)t cosh(b t),dt

Passo 3

Para obter a transformada de cosh(b t), usamos a definição e a identidade cosh(b t) = tfrace^b t+e^-b t2:
Lcosh(b t) = integral0^infty e^-s t e^b t+e^-b t2,dt = 12integral0^infty l(e^-(s-b)t + e^-(s+b)tr),dt
Cada integral é uma exponencial simples:
integral0^infty e^-alpha t,dt = 1alpha para Re(alpha)>0
Logo,
Lcosh(b t) = 12 l(1s-b + 1s+br) = ss^2-b^2,
válido para Re(s) > |b|.

Passo 4

O teorema do deslocamento em s diz que se Lf(t) = F(s), então
Le^a t f(t) = F(s - a)

Passo 5

Aplicando esse teorema com F(s) = tfracss^2-b^2, substituímos s por s - a e obtemos
Le^a t cosh(b t) = s - a(s - a)^2 - b^2,
válido para Re(s) > a + |b|.

Resposta

s - a(s - a)^2 - b^2

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