Sejam
e
. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é uma função com domínio A e contradomínio B. Se esse for o caso a função é injetora? É sobrejetora?
ii)
ii)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos os conjuntos
e
.
O que a questão pede (conteúdo):
O que a questão pede (conteúdo):
- Verificar se a relação
é uma função com domínio e contradomínio . - Caso seja função, ver se ela é injetora e/ou sobrejetora.
Para isso vamos usar:
- Definição de função (todo elemento de
aparece exatamente uma vez no primeiro coordenado). - Definição de injetividade (elementos distintos de
não podem ter a mesma imagem). - Definição de sobrejetividade (toda
deve ser imagem de algum ).
Passo 2
Verificando se é função:
Uma relação é função se, para cada , existe exatamente um par
.
Aqui os pares são .
– Os presentes são justamente
, que é igual a
.
– Cada aparece uma única vez.
Logo, é função.
Uma relação é função se, para cada
Aqui os pares são
– Os
– Cada
Logo, é função.
Passo 3
Verificando injetividade:
Definição: é injetora se sempre que
, então
.
Aqui:
Definição:
Aqui:
-
e .
Comomas ambas as imagens são iguais a 3, há colisão.
Logo, não é injetora.
Passo 4
Verificando sobrejetividade:
Definição: é sobrejetora se, para todo
, existe algum
com
.
As imagens que aparecem são .
No contradomínio falta o
.
Não há tal que
.
Logo, não é sobrejetora.
Definição:
As imagens que aparecem são
No contradomínio
Não há
Logo, não é sobrejetora.
Resposta
A relação é função, mas não é injetora nem sobrejetora.