Sejam os seguintes conjuntos:
& A=x in Z mid x=2 n+1 , para algum inteiro n & B=y in Z mid y=3 k+2 , para algum inteiro k & Verifique se A=B , justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem é:
• A é o conjunto dos inteiros que são ímpares, porque todo x = 2n + 1, ninZ pode ser escrito como
y = 3k + 2, kinZ
• B é o conjunto dos inteiros que deixam resto 2 na divisão por 3, ou seja
Conteúdo: igualdade de conjuntos e números inteiros (noções de resto, par, ímpar).
O que precisamos: lembrar que dois conjuntos são iguais se e somente se cada um está contido no outro, e depois testar exemplos.

Passo 2

Teoria rápida:
Dois conjuntos e são iguais ( ) quando
  1. Todo elemento de também está em ( ).
  2. Todo elemento de também está em ( ).
    Se falhar um desses, já dá pra concluir que não são iguais.

Passo 3

Vamos ver se 2n = 3k +1 Longrightarrow n = tfrac3k+12 .
Um elemento genérico de é . Para estar em , ele teria que ser da forma .
Se , aí
Só que nem sempre é inteiro (por exemplo, se , dá , que não vale).

Passo 4

Melhor ainda: basta achar um contraexemplo.
Pegue .
3 é ímpar, então está em (tome , ).
Mas não está em , porque se fosse, precisaríamos de , ou seja , que não é inteiro.
Logo mas . Assim .

Passo 5

Para completar, olhamos se talvez .
Escolha .
2 está em (pegue , ).
Mas 2 não é ímpar, logo não está em .
Então .

Resposta

Os conjuntos não são iguais: .

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