Sejam
e
. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é uma função com domínio A e contradomínio B. Se esse for o caso a função é injetora? É sobrejetora?
iii)
iii)
Passo 1
Beleza, aqui o que a gente tem é:
• Domínio A =
• Contradomínio B =
• A relação dada é
O que a gente vai fazer:
• Domínio A =
• Contradomínio B =
• A relação dada é
O que a gente vai fazer:
- Verificar se isso é realmente uma função de
em . - Se for, checar se é injetora (nenhum “y” é repetido) e se é sobrejetora (todo elemento de
aparece como imagem).
Passo 2
Primeiro, o que é uma função?
Uma relação é função se, para cada
, existe exatamente um par
em
.
Na prática, é conferir:
– Cada elemento de (0, 2, 4, 6) aparece uma vez e só uma vez como primeiro componente nos pares.
Uma relação
Na prática, é conferir:
– Cada elemento de
Olha os pares:
Eles têm justamente os quatro elementos de como “primeiro” e nenhum se repete. Então sim, é função.
Eles têm justamente os quatro elementos de
Passo 3
Agora injetividade.
Definição: é injetora se, sempre que
, a gente tem
. Em outras palavras, não há dois “x” diferentes indo para o mesmo “y”.
Veja as imagens aqui:
–
–
–
–
Os valores são todos diferentes. Então não existe “colisão” de imagem, e
é injetora.
Definição:
Veja as imagens aqui:
–
–
–
–
Os valores
Passo 4
Agora sobrejetividade.
Definição: é sobrejetora se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Nosso contradomínio é . As imagens que aparecem são exatamente
.
Isso quer dizer que todo elemento de é atingido por alguém de
. Logo
é sobrejetora.
Definição:
Nosso contradomínio é
Isso quer dizer que todo elemento de
Resposta
A relação
- é função de
em ; - é injetora;
- é sobrejetora (portanto bijetora).