Sejam
com
. O disco
é girado em torno do eixo
, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.
Passo 1
Temos um disco definido por
, com
e
, que é girado em torno do eixo
gerando um toro. O conteúdo é volume de sólidos de revolução e vamos usar o Teorema de Pappus.
Passo 2
O Teorema de Pappus diz que o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região plana é o produto da área dessa região pelo comprimento da trajetória percorrida pelo seu centroide.
No nosso caso, a região é um disco de raio , cuja área é
.
O centroide do disco fica no ponto , então, ao girar em torno do eixo
, ele descreve uma circunferência de raio
e comprimento
No nosso caso, a região é um disco de raio
O centroide do disco fica no ponto
Resposta
Multiplicando área do disco pelo comprimento do caminho do centroide, obtemos