Sejam a, b>O com b>a. O disco x^2+(y-b)^2 <= a^2 é girado em torno do eixo x, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume.

Passo 1

Temos um disco definido por x^2 + (y - b)^2 <= a^2, com a,b>0 e b>a, que é girado em torno do eixo x gerando um toro. O conteúdo é volume de sólidos de revolução e vamos usar o Teorema de Pappus.

Passo 2

O Teorema de Pappus diz que o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região plana é o produto da área dessa região pelo comprimento da trajetória percorrida pelo seu centroide.
No nosso caso, a região é um disco de raio a, cuja área é pi a^2.
O centroide do disco fica no ponto (0,b), então, ao girar em torno do eixo x, ele descreve uma circunferência de raio b e comprimento
2pi b

Resposta

Multiplicando área do disco pelo comprimento do caminho do centroide, obtemos
V = pi a^2 cdot 2pi b = 2pi^2 a^2 b

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