Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Mostre que:
se A e B são independentes, também o são barA e B, A e barB, barA e barB.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Sejam e independentes. Mostre que também são independentes: e , e , e .”
Isso é probabilidade básica de eventos e independência. Vamos precisar da definição de independência

e das fórmulas de complementaridade

e
(quando precisar).

Passo 2

Provar que P(bar Acap B)=P(bar A),P(B) e bar Acap B = B - (Acap B), são independentes.
Pela definição, temos de mostrar
P(bar Acap B)=P(B)-P(Acap B)
Agora note que
P(bar Acap B)=P(B)-P(A),P(B) = P(B)l(1-P(A)r) = P(B),P(bar A),
ou seja
Como e são independentes, . Logo
que é exatamente o que queríamos.

Passo 3

Agora provamos que P(Acap bar B)=P(A),P(bar B) e Acap bar B = A - (Acap B), são independentes.
Do mesmo jeito, precisamos de
P(Acap bar B)=P(A)-P(Acap B) = P(A)-P(A),P(B) = P(A)l(1-P(B)r) = P(A),P(bar B)
Repare que
então

Passo 4

Por fim, P(bar Acap bar B)=P(bar A),P(bar B) e bar Acap bar B = Acup B .
Queremos
P(Acup B)=1-P(Acup B) =1-l[P(A)+P(B)-P(Acap B)r]
Aqui podemos usar que
P(bar Acap bar B) =1-P(A)-P(B)+P(A),P(B) =(1-P(A)),(1-P(B)) = P(bar A),P(bar B)
e a fórmula de complementaridade de união:
Como , isso vira

Resposta

Mostramos passo a passo que, se bar A e B, A e bar B, bar A e bar B e são independentes, também são independentes seus complementos em qualquer combinação:

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