Sejam e dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Mostre que:
se e são independentes, também o são e e e .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Sejam e independentes. Mostre que também são independentes: e , e , e .”
Isso é probabilidade básica de eventos e independência. Vamos precisar da definição de independência
e das fórmulas de complementaridade
e (quando precisar).
Passo 2
Provar que e são independentes.
Pela definição, temos de mostrar
Agora note que
ou seja
Como e são independentes, . Logo
que é exatamente o que queríamos.
Passo 3
Agora provamos que e são independentes.
Do mesmo jeito, precisamos de
Repare que
então
Passo 4
Por fim, e .
Queremos
Aqui podemos usar que
e a fórmula de complementaridade de união:
Como , isso vira
Resposta
Mostramos passo a passo que, se bar A e B, A e bar B, bar A e bar B e são independentes, também são independentes seus complementos em qualquer combinação: