Esboce o gráfico de
1-\cos (x / 2)
e diga qual domínio, imagem, período e frequencia da função.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=1-\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
e determinar seu domínio, imagem, período e frequência. O conteúdo envolve transformações de funções trigonométricas (deslocamento vertical e mudança de variável no argumento).

Passo 2

Voltemos às propriedades da função básica \cos(u): \cos(u) tem domínio \mathbb{R}, imagem [-1,1] e período 2\pi. Seu gráfico é uma onda que atinge máximos +1 e mínimos -1.

Passo 3

Agora considere a substituição u = x/2. A função
\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
mantém a amplitude 1, mas seu período se estica de 2\pi para
T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi.

Passo 4

Em seguida aplicamos a transformação vertical 1 - \cos(u). Como \cos(u) varia em [-1,1], obtemos
1 - \cos(u)\in[\,1-1,\;1-(-1)\,]=[0,2].
Logo, verticalmente a onda fica deslocada e “invertida” de modo que atinge mínimos em 0 e máximos em 2.

Passo 5

Do passo anterior colhemos:
  • Domínio: \mathbb{R} (não há restrições em x).
  • Imagem: [0,2].
  • Período: T=4\pi.
  • Frequência: f=\tfrac{1}{T}=\tfrac{1}{4\pi}.

Passo 6

Para esboçar o gráfico num período típico 0\le x\le4\pi:
  1. Em x=0 temos f(0)=1-\cos(0)=0.
  2. Em x=2\pi temos f(2\pi)=1-\cos(\pi)=1-(-1)=2.
  3. Em x=4\pi volta a f(4\pi)=1-\cos(2\pi)=0.
    Entre esses pontos o gráfico sobe suavemente de 0 a 2 e depois desce de volta a 0, repetindo esse padrão a cada 4\pi.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,2]
Período: 4\pi
Frequência: \tfrac{1}{4\pi}

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