Sejam a e b dois números inteiros positivos primos entre si. Demonstrar que:
m d c(a+b, a^2-a b+b^2)=1 ou 3

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, dados dois inteiros positivos a e b tais que gcd(a,b)=1, vale
gcdl(a+b,;a^2-ab+b^2r);=;1ou3
O conteúdo envolve divisibilidade e uso do algoritmo de Euclides para máximo divisor comum.

Passo 2

Definimos
d ;=;gcdl(a+b,;a^2-ab+b^2r)
Pelo algoritmo de Euclides, podemos substituir o segundo argumento de d pelo resto da divisão de a^2-ab+b^2 por a+b.

Passo 3

Vamos dividir a^2-ab+b^2 por a+b. Note que
(a+b),(a-2b) = a^2-ab-2b^2
e, portanto,
a^2-ab+b^2 ;=;(a+b),(a-2b) ;+;3b^2
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d ;=;gcdl(a+b,;3b^2r)

Passo 4

Como gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1, segue que gcd(a+b,b^2)=1. Assim
d ;=;gcdl(a+b,;3r)

Passo 5

O valor de gcd(a+b,3) só pode ser 1 ou 3, pois qualquer inteiro é ou coprimo com 3 ou múltiplo de 3.

Resposta

Portanto,
gcdl(a+b,;a^2-ab+b^2r) ;=; 1 ou 3

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