Um terreno retangular de 105 m times 165 m deverá ser cercado com arame farpado fixado em estacas igualmente espaçadas. Supondo que exista uma estaca em cada vértice do terreno, qual o número mínimo de estacas que deverão ser utilizadas?

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular de dimensões 105 mtimes165 m e pede o número mínimo de estacas para cercar o perímetro, colocando uma estaca em cada vértice e mantendo todas as estacas igualmente espaçadas. Para minimizar o número de estacas devemos maximizar a distância d entre estacas, mas garantindo que cada lado (de comprimento 105 e 165) seja subdividido em um número inteiro de trechos de tamanho d. Assim, d precisa dividir simultaneamente 105 e 165.

Passo 2

Para encontrar o maior valor possível de d usamos o algoritmo de Euclides para gcd(105,165):
165 = 105cdot1 + 60
105 = 60cdot1 + 45
60 = 45cdot1 + 15
45 = 15cdot3 + 0
Logo, gcd(105,165)=15. Assim, a maior distância entre estacas é d=15 m.

Passo 3

O perímetro total do terreno é
P = 2,(105 + 165) = 2cdot270 = 540 m
Como as estacas ficam a cada 15 m ao longo do circuito, o número de estacas é
N = Pd = 54015 = 36

Resposta

O número mínimo de estacas é 36.

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