Seja X \subset \mathbb{R} um subconjunto limitado. Mostre que X admite no máximo 1 supremo e 1 ínfimo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
  • Dado: X\subset\mathbb{R} é um subconjunto limitado.
    (Isto significa que existe M>0 tal que |x|\le M para todo x\in X.)
  • Pedido: mostrar que X admite no máximo um supremo e no máximo um ínfimo.
    Em outras palavras, provar que não podem existir dois elementos distintos que sejam ambos supremos de X, e análogo para ínfimos.

Passo 2

Definição (explicada passo a passo) do que é supremo e por que a definição tem duas partes importantes.
  • Dizemos que s é um supremo de X (ou s=\sup X) quando duas condições valem:
    1. s é uma cota superior de X: isto é, \forall x\in X vale x\le s.
    2. s é a menor entre as cotas superiores: isto é, se u é qualquer cota superior de X (ou seja, \forall x\in X\; x\le u), então s\le u.
  • Intuição: a primeira parte diz que s “está acima” de todos os elementos de X; a segunda parte diz que não existe uma cota superior estritamente menor que s. Juntas, garantem que s é a menor das cotas superiores (o “menor teto” de X).

Passo 3

Prova da unicidade do supremo (passo a passo, sem pular etapas).
  • Suponha, por absurdo construtivo, que existam dois supremos de X, chamemos de s e t.
  • Pelo fato de t ser uma cota superior (porque é supremo), temos \forall x\in X\; x\le t.
  • Como s é o menor entre as cotas superiores (definição de supremo), e t é uma cota superior, a condição (2) da definição de s implica s\le t.
  • De modo simétrico, usando que s é cota superior e que t é o menor entre as cotas superiores, obtemos t\le s.
  • Assim chegamos às duas desigualdades s\le t e t\le s.

Passo 4

Concluir a unicidade do supremo usando a propriedade antisymétrica da ordem em \mathbb{R}.
  • Na reta real, a relação \le é antissimétrica: se a\le b e b\le a, então a=b.
  • Aplicando isso a s e t, das desigualdades s\le t e t\le s segue s=t.
  • Conclusão: não podem existir dois supremos distintos; o supremo (quando existe) é único.

Passo 5

Definição (explicada) e prova da unicidade do ínfimo, análogo ao caso do supremo.
  • Definição de ínfimo: m é ínfimo de X (ou m=\inf X) se:
    1. m é uma cota inferior de X: \forall x\in X\; m\le x.
    2. m é a maior entre as cotas inferiores: se l é qualquer cota inferior (ou seja, \forall x\in X\; l\le x), então l\le m.
  • Suponha que existam dois ínfimos m e n. Pelo mesmo raciocínio do caso do supremo:
    • Como n é cota inferior, e m é a maior cota inferior, segue n\le m.
    • Simetricamente, m\le n.
    • Pela antissimetria de \le em \mathbb{R} temos m=n.
  • Conclusão: o ínfimo (quando existe) é único.

Passo 6

Observações finais e motivação intuitiva.
  • A prova da unicidade usa apenas as definições de “menor cota superior” e “maior cota inferior” e a propriedade antissimétrica da ordem real. Note que a limitação (boundedness) de X não é necessária para provar unicidade: mesmo conjuntos não limitados podem ter supremo/ínfimo (por exemplo, \sup\{x\in\mathbb{R}\mid x<0\}=0); a hipótese de limitado garante apenas existência em alguns contextos (por exemplo, conjunto não-vazio e limitado superiormente tem supremo por completude), mas não é usada na prova da unicidade.
  • Moral prática para prova de prova de concurso/prova: para mostrar unicidade de um objeto definido por uma propriedade “mínima” ou “máxima”, suponha que existam dois tais objetos e compare-os usando a propriedade de minimalidade/maximalidade; normalmente obtém-se as duas desigualdades e, por antissimetria, igualdade.

Resposta

O supremo de X, quando existe, é único.
O ínfimo de X, quando existe, é único.

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