Seja
um subconjunto limitado. Mostre que
admite no máximo 1 supremo e 1 ínfimo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
- Dado:
é um subconjunto limitado.
(Isto significa que existetal que para todo .) - Pedido: mostrar que
admite no máximo um supremo e no máximo um ínfimo.
Em outras palavras, provar que não podem existir dois elementos distintos que sejam ambos supremos de, e análogo para ínfimos.
Passo 2
Definição (explicada passo a passo) do que é supremo e por que a definição tem duas partes importantes.
- Dizemos que
é um supremo de (ou ) quando duas condições valem: -
é uma cota superior de : isto é, vale . -
é a menor entre as cotas superiores: isto é, se é qualquer cota superior de (ou seja, ), então .
-
- Intuição: a primeira parte diz que
“está acima” de todos os elementos de ; a segunda parte diz que não existe uma cota superior estritamente menor que . Juntas, garantem que é a menor das cotas superiores (o “menor teto” de ).
Passo 3
Prova da unicidade do supremo (passo a passo, sem pular etapas).
- Suponha, por absurdo construtivo, que existam dois supremos de
, chamemos de e . - Pelo fato de
ser uma cota superior (porque é supremo), temos . - Como
é o menor entre as cotas superiores (definição de supremo), e é uma cota superior, a condição (2) da definição de implica . - De modo simétrico, usando que
é cota superior e que é o menor entre as cotas superiores, obtemos . - Assim chegamos às duas desigualdades
e .
Passo 4
Concluir a unicidade do supremo usando a propriedade antisymétrica da ordem em
.
- Na reta real, a relação
é antissimétrica: se e , então . - Aplicando isso a
e , das desigualdades e segue . - Conclusão: não podem existir dois supremos distintos; o supremo (quando existe) é único.
Passo 5
Definição (explicada) e prova da unicidade do ínfimo, análogo ao caso do supremo.
- Definição de ínfimo:
é ínfimo de (ou ) se: -
é uma cota inferior de : . -
é a maior entre as cotas inferiores: se é qualquer cota inferior (ou seja, ), então .
-
- Suponha que existam dois ínfimos
e . Pelo mesmo raciocínio do caso do supremo: - Como
é cota inferior, e é a maior cota inferior, segue . - Simetricamente,
. - Pela antissimetria de
em temos .
- Como
- Conclusão: o ínfimo (quando existe) é único.
Passo 6
Observações finais e motivação intuitiva.
- A prova da unicidade usa apenas as definições de “menor cota superior” e “maior cota inferior” e a propriedade antissimétrica da ordem real. Note que a limitação (boundedness) de
não é necessária para provar unicidade: mesmo conjuntos não limitados podem ter supremo/ínfimo (por exemplo, ); a hipótese de limitado garante apenas existência em alguns contextos (por exemplo, conjunto não-vazio e limitado superiormente tem supremo por completude), mas não é usada na prova da unicidade. - Moral prática para prova de prova de concurso/prova: para mostrar unicidade de um objeto definido por uma propriedade “mínima” ou “máxima”, suponha que existam dois tais objetos e compare-os usando a propriedade de minimalidade/maximalidade; normalmente obtém-se as duas desigualdades e, por antissimetria, igualdade.
Resposta
O supremo de
, quando existe, é único.
O ínfimo de , quando existe, é único.
O ínfimo de