Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
.
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
Passo 1
Temos a equação diferencial
que é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis e integrações envolvendo exponenciais; vamos precisar reescrever em forma diferencial e agrupar termos de
e
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
e passamos todos os termos de
para um lado e de
para o outro. Assim:
Multiplicando por
e dividindo por
(note que a única tentativa de
não gera solução global, pois forçaria
só em pontos isolados), obtemos
Passo 3
No lado esquerdo precisamos calcular
Fazendo a substituição
,
, resulta
Passo 4
No lado direito calculamos
Para a primeira parte,
. Para a segunda, usamos
e obtemos
Somando, fica
Passo 5
Igualando as primitivas dos dois lados e absorvendo constantes em um
geral, temos
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando, chega-se à solução implícita
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é a constante de integração.