Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|).

Passo 1

Temos a equação diferencial
e^t^2+y^2;y;y'=t+2t^3
que é separável. O conteúdo aqui é separação de variáveis e integrações envolvendo exponenciais; vamos precisar reescrever em forma diferencial e agrupar termos de y e t.

Passo 2

Primeiro escrevemos y'=dydt e passamos todos os termos de t para um lado e de y para o outro. Assim:
e^t^2+y^2;y;dydt=t+2t^3
Multiplicando por dt e dividindo por e^t^2+y^2 (note que a única tentativa de y=0 não gera solução global, pois forçaria t+2t^3=0 só em pontos isolados), obtemos
y,e^y^2,dy=(t+2t^3)e^-t^2,dt

Passo 3

No lado esquerdo precisamos calcular
integral y,e^y^2,dy
Fazendo a substituição u=y^2, du=2y,dy, resulta
integral y,e^y^2,dy=12integral e^u,du=12 e^y^2+C1

Passo 4

No lado direito calculamos
integral (t+2t^3)e^-t^2,dt=integral t e^-t^2,dt+2integral t^3e^-t^2,dt
Para a primeira parte, integral t e^-t^2dt=-tfrac12e^-t^2. Para a segunda, usamos w=-t^2 e obtemos
2integral t^3e^-t^2dt=-l(t^2+1r)e^-t^2+C2
Somando, fica
integral (t+2t^3)e^-t^2dt=-2t^2+32e^-t^2+C3

Passo 5

Igualando as primitivas dos dois lados e absorvendo constantes em um C geral, temos
12e^y^2=-2t^2+32e^-t^2+C
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando, chega-se à solução implícita
e^y^2+(2t^2+3)e^-t^2=C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^y^2+(2t^2+3)e^-t^2=C,
onde C é a constante de integração.

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