Seja
o espaço vectorial das sucessões reais (munido das operações usuais). Considere o conjunto
das sucessões
que satisfazem a relação de recorrência
(a) Mostre que
é um subespaço de
; indique a sua dimensão e uma base.
(b) Defina o vector
. Mostre que a relação
se traduz matricialmente por
, determinando a matriz
. Conclua que
.
(c) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de
.
(d) Aproveite o resultado anterior para calcular
.
(b) Defina o vector
(c) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de
(d) Aproveite o resultado anterior para calcular
Passo 1
O enunciado situa-se no estudo de recorrências lineares em
, o espaço de todas as sucessões reais com operações usuais. Em (a) vamos mostrar que o conjunto
de sequências que satisfazem
é um subespaço, determinar sua dimensão e uma base. Em (b) transformamos essa recorrência numa relação matricial
. Em (c) calculamos autovalores e autovetores de
. Finalmente, em (d) diagonalizamos
para obter uma fórmula fechada para
.
Passo 2
Para ver que
é subespaço de
, note que:
. A sequência nula
satisfaz
, logo
.
. Se
e
satisfazem
e
, então, para escalares
,
logo
. Portanto,
é subespaço.
Passo 3
Uma sequência em
fica totalmente determinada pelos valores iniciais
e
. Logo
. Duas sequências naturalmente independentes são
pois
tem
e
tem
. Estas formam uma base de
.
Passo 4
Defina
Então
Portanto
Por indução segue-se que
Passo 5
Para achar os autovalores de
, resolvemos
As raízes são
Para
, um autovetor satisfaz
Uma escolha é
Passo 6
Formamos a matriz
cujas colunas são os autovetores e a diagonal
dos autovalores:
Como
,
é inversível e
Calculando
e
obtemos a forma fechada
Resposta
(a)
é subespaço de
,
, base por exemplo
(b)
com
logo
.
(c) Autovalores , autovetores
.
(d)
(c) Autovalores
(d)