Seja U o espaço vectorial das sucessões reais (munido das operações usuais). Considere o conjunto F subset U das sucessões (xn) que satisfazem a relação de recorrência
xn+2=xn+1+xn
(a) Mostre que F é um subespaço de U; indique a sua dimensão e uma base.
(b) Defina o vector Gn=[cxn+1 xn]. Mostre que a relação 1 se traduz matricialmente por Gn+1=A Gn, determinando a matriz A. Conclua que Gn+1=A^n G1.
(c) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de A.
(d) Aproveite o resultado anterior para calcular A^n.

Passo 1

O enunciado situa-se no estudo de recorrências lineares em U, o espaço de todas as sucessões reais com operações usuais. Em (a) vamos mostrar que o conjunto F de sequências que satisfazem
xn+2 = xn+1 + xn
é um subespaço, determinar sua dimensão e uma base. Em (b) transformamos essa recorrência numa relação matricial Gn+1 = A cdot Gn. Em (c) calculamos autovalores e autovetores de A. Finalmente, em (d) diagonalizamos A para obter uma fórmula fechada para A^n.

Passo 2

Para ver que F é subespaço de U, note que:
1. A sequência nula xn=0 satisfaz 0=0+0, logo 0inF.
2. Se ,(xn) e ,(yn) satisfazem xn+2=xn+1+xn e yn+2=yn+1+yn, então, para escalares alpha,beta,
(alpha xn+beta yn)n+2 =alpha xn+2+beta yn+2 =alpha(xn+1+xn)+beta(yn+1+yn)
=(alpha xn+1+beta yn+1)+(alpha xn+beta yn),
logo alpha(xn)+beta(yn)inF. Portanto, F é subespaço.

Passo 3

Uma sequência em F fica totalmente determinada pelos valores iniciais x1 e x2. Logo dimF=2. Duas sequências naturalmente independentes são
u^(1)=(1,0,1,1,2,3,dots), u^(2)=(0,1,1,2,3,5,dots),
pois u^(1) tem x1=1,x2=0 e u^(2) tem x1=0,x2=1. Estas formam uma base de F.

Passo 4

Defina
Então
Portanto
Por indução segue-se que

Passo 5

Para achar os autovalores de , resolvemos
As raízes são
Para , um autovetor satisfaz
Uma escolha é

Passo 6

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores e a diagonal D dos autovalores:
P=lambda1&lambda21&1, D=lambda1&00&lambda2
Como lambda1neqlambda2, P é inversível e
A=P,D,P^-1, A^n=P,D^n,P^-1
Calculando P^-1 e D^n obtemos a forma fechada
A^n =1raiz5 lambda1^n+1-lambda2^n+1 & lambda1^n-lambda2^n lambda1^n-lambda2^n & lambda1^n-1-lambda2^n-1

Resposta

(a) F é subespaço de U, dimF=2, base por exemplo
u^(1)=(1,0,1,1,2,dots), u^(2)=(0,1,1,2,3,dots)
(b) Gn+1=A,Gn com
A=1&11&0,
logo Gn+1=A^nG1.
(c) Autovalores lambda1,2=(1pmraiz5)/2, autovetores l(lambdai,1r)^T.
(d)
A^n =1raiz5 lambda1^n+1-lambda2^n+1 & lambda1^n-lambda2^n lambda1^n-lambda2^n & lambda1^n-1-lambda2^n-1

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