O tempo de vida, em horas, de um componente eletr’onico’e uma vari’avel aleat’oria com fun,c̃ao de distribui,c̃ao acumulada
F(x)=1-e^{-x} \quad, x>0
(a) Determine sua fun,c̃ao densidade de probabilidade;
(b) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente exceda 70 horas.

Passo 1

O enunciado dá a função distribuição acumulada do tempo de vida (em horas) de um componente:
F(x)=1-e^{-x}\quad,\;x>0.
As perguntas são:
  1. (a) Determinar a função densidade de probabilidade.
  2. (b) Determinar a probabilidade de que o tempo de vida exceda 70 horas.
Informações relevantes dadas:
F(x)=1-e^{-x}\quad\text{para }x>0.
Observação implícita: para x\le 0 normalmente temos F(x)=0 (o tempo de vida não é negativo), portanto a densidade fora de x>0 será zero.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma variável aleatória contínua, a função densidade de probabilidade f(x) é a derivada da função distribuição acumulada F(x) nos pontos em que F é diferenciável. Em fórmula:
f(x)=F'(x).
O que isso significa na prática? F(x) dá a probabilidade acumulada até x. Diferenciando, obtemos a “densidade” instantânea de probabilidade em cada ponto. Então, para encontrar f basta derivar F (onde for apropriado).

Passo 3

Aplicando a regra anterior ao nosso F(x) para x>0. Escrevo F(x) e vamos derivar termo a termo:
F(x)=1-e^{-x}.
  • A derivada de 1 em relação a x é 0.
  • A derivada de -e^{-x}: primeiro a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (regra da derivada da exponencial composta), então a derivada de -e^{-x} é -1 vezes -e^{-x}, ou seja e^{-x}.
Portanto, para x>0,
f(x)=F'(x)=e^{-x}.

Passo 4

Definindo a densidade completa (suporte da variável): como mencionado no Passo 1, para x\le 0\) não há probabilidade (tempo de vida não negativo), então a densidade vale zero ali. Logo a densidade é \[f(x)=\begin{cases} e^{-x}, & x>0,\\[6pt] 0, & x\le 0. \end{cases}
É bom checar a normalização (a integral da densidade deve ser 1\]). Calculamos a integral de \(0 a +\infty:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
A primitiva de e^{-x} é -e^{-x}. Avaliando os limites:
\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}= \lim_{b\to\infty}(-e^{-b}) - (-e^{0}) = 0 - (-1)=1.
Portanto está tudo consistente: a densidade integra 1.]

Passo 5

Agora a pergunta (b): queremos P(\text{o tempo de vida excede }70), ou seja P(X>70). Para variáveis contínuas vale a relação de complemento:
P(X>70)=1-P(X\le 70)=1-F(70).
Substituindo F(70)=1-e^{-70} (usando a função dada),
P(X>70)=1-\bigl(1-e^{-70}\bigr)=e^{-70}.

Passo 6

Interpretação e aproximação numérica (didática e prática): e^{-70} é um número extremamente pequeno. Podemos aproximar em notação científica para ver o quão pequeno:
\log_{10}\bigl(e^{-70}\bigr)=-70\log_{10}(e)\approx -70\cdot 0,43429448\approx -30,4006,
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e^{-70}\approx 10^{-30,4006}\approx 3,98\times 10^{-31}.
Ou seja, a chance de um componente durar mais de 70 horas é praticamente nula (da ordem de 10^{-31}).

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-x}, & x>0,\\[6pt]0, & x\le 0,\end{cases}
(b) \displaystyle P(X>70)=e^{-70}\approx 3,98\times 10^{-31}]

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