O tempo de vida, em horas, de um componente eletr’onico’e uma vari’avel aleat’oria com fun,c̃ao de distribui,c̃ao acumulada
(a) Determine sua fun,c̃ao densidade de probabilidade;
(b) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente exceda 70 horas.
(b) Determine a probabilidade de que o tempo de vida do componente exceda 70 horas.
Passo 1
O enunciado dá a função distribuição acumulada do tempo de vida (em horas) de um componente:
As perguntas são:
- (a) Determinar a função densidade de probabilidade.
- (b) Determinar a probabilidade de que o tempo de vida exceda 70 horas.
Informações relevantes dadas:
Observação implícita: para
normalmente temos
(o tempo de vida não é negativo), portanto a densidade fora de
será zero.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma variável aleatória contínua, a função densidade de probabilidade
é a derivada da função distribuição acumulada
nos pontos em que
é diferenciável. Em fórmula:
O que isso significa na prática?
dá a probabilidade acumulada até
. Diferenciando, obtemos a “densidade” instantânea de probabilidade em cada ponto. Então, para encontrar
basta derivar
(onde for apropriado).
Passo 3
Aplicando a regra anterior ao nosso
para
. Escrevo
e vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
: primeiro a derivada de é (regra da derivada da exponencial composta), então a derivada de é vezes , ou seja .
Portanto, para
,
Passo 4
Definindo a densidade completa (suporte da variável): como mencionado no Passo 1, para
É bom checar a normalização (a integral da densidade deve ser
a
:
A primitiva de
é
. Avaliando os limites:
Portanto está tudo consistente: a densidade integra 1.]
Passo 5
Agora a pergunta (b): queremos
, ou seja
. Para variáveis contínuas vale a relação de complemento:
Substituindo
(usando a função dada),
Passo 6
Interpretação e aproximação numérica (didática e prática):
é um número extremamente pequeno. Podemos aproximar em notação científica para ver o quão pequeno:
logo
Ou seja, a chance de um componente durar mais de
horas é praticamente nula (da ordem de
).
Resposta
(a)
(b)
]