Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que é pedido:
- Determinar
.
Passo 2
Vamos recordar e entender uma propriedade central dos determinantes: o determinante transforma a composição de transformações lineares em produto de fatores escalares. Em palavras simples: se uma matriz
multiplica volumes por um fator
e
multiplica volumes por
, então aplicar
e em seguida
(ou seja, aplicar
ou
dependendo da ordem de representação) multiplica volumes por
. Daí decorre a propriedade:
Essa é uma propriedade básica e muito usada: o determinante é multiplicativo.
Exemplo pequeno para intuir: para matrizes
,
calcula-se
,
e pode verificar-se (fazendo a multiplicação de matrizes e o determinante) que
. Isso ilustra a regra multiplicativa em um caso concreto.
Passo 3
Outra propriedade útil é o determinante da matriz inversa. Se
é invertível e
é sua inversa, então
. Tomando determinantes em ambos os lados e usando a propriedade multiplicativa:
Como
, obtemos
A mesma ideia vale para o produto
: a inversa de
satisfaz
, logo
Passo 4
Agora combinamos as propriedades anteriores. Primeiro usamos a multiplicatividade para calcular
:
Em seguida usamos que o determinante da inversa é o inverso do determinante:
Alternativamente pode-se escrever
e aplicar multiplicatividade e a fórmula da inversa para obter o mesmo resultado:
Passo 5
Substituindo os valores numéricos dados
e
:
portanto