Sejam A, B \in M_{n}(\Re) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}(\mathbf{A B})^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A,B\in M_{n}(\Re).
  • \det A = 4.
  • \det B = 5.
O que é pedido:
  • Determinar \det\bigl((AB)^{-1}\bigr).

Passo 2

Vamos recordar e entender uma propriedade central dos determinantes: o determinante transforma a composição de transformações lineares em produto de fatores escalares. Em palavras simples: se uma matriz A multiplica volumes por um fator \det A e B multiplica volumes por \det B, então aplicar A e em seguida B (ou seja, aplicar BA ou AB dependendo da ordem de representação) multiplica volumes por \det B\cdot\det A. Daí decorre a propriedade:
\det(AB)=\det A\cdot\det B.
Essa é uma propriedade básica e muito usada: o determinante é multiplicativo.
Exemplo pequeno para intuir: para matrizes 2\times2,
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e&f\g&h\end{pmatrix},
calcula-se \det A=ad-bc, \det B=eh-fg e pode verificar-se (fazendo a multiplicação de matrizes e o determinante) que \det(AB)=(ad-bc)(eh-fg). Isso ilustra a regra multiplicativa em um caso concreto.

Passo 3

Outra propriedade útil é o determinante da matriz inversa. Se A é invertível e A^{-1} é sua inversa, então AA^{-1}=I. Tomando determinantes em ambos os lados e usando a propriedade multiplicativa:
\det A\cdot\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\det I.
Como \det I=1, obtemos
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det A}.
A mesma ideia vale para o produto AB: a inversa de AB satisfaz (AB)(AB)^{-1}=I, logo
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(AB)}.

Passo 4

Agora combinamos as propriedades anteriores. Primeiro usamos a multiplicatividade para calcular \det(AB):
\det(AB)=\det A\cdot\det B.
Em seguida usamos que o determinante da inversa é o inverso do determinante:
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(AB)}=\frac{1}{\det A\cdot\det B}.
Alternativamente pode-se escrever (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e aplicar multiplicatividade e a fórmula da inversa para obter o mesmo resultado:
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\det(B^{-1}A^{-1})=\det(B^{-1})\det(A^{-1})=\frac{1}{\det B}\cdot\frac{1}{\det A}=\frac{1}{\det A\cdot\det B}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos dados \det A=4 e \det B=5:
\det(AB)=4\cdot5=20,
portanto
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\frac{1}{20}.

Resposta

\dfrac{1}{20}

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