Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado nos dá as informações:
-
. -
. -
.
A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil dos determinantes: se uma matriz quadrada tem uma de suas linhas (ou colunas) multiplicada por um escalar
, o determinante da nova matriz é o determinante original multiplicado por
. Em símbolos: se
é obtida de
multiplicando-se a
-ésima linha por
, então
Explicando de forma bem direta: o determinante é linear em cada linha (ou coluna) quando as demais ficam fixas; portanto fatoram-se constantes multiplicativas dessas linhas.
Passo 3
Agora observe como obter
a partir de
. A matriz
é a mesma matriz
com todas as linhas multiplicadas por
. Como
tem
linhas, aplicando a propriedade do passo anterior sucessivamente em cada linha, cada multiplicação por
introduz um fator
no determinante. Portanto o fator total que aparece no determinante ao transformar
em
é
multiplicado
vezes, ou seja
.
Passo 4
Assim chegamos à relação geral
Substituindo
obtemos
Passo 5
Para fixar a intuição com exemplos rápidos:
- Se
: . - Se
: . - Se
: .
Ou seja, o sinal alterna conforme a paridade de.
Resposta
(se