Sejam A, B \in M_{n}(\Re) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}(-\mathrm{A})

Passo 1

O enunciado nos dá as informações:
  • A,B\in M_{n}(\Re).
  • \det A = 4.
  • \det B = 5.
A pergunta é: determinar \det(-A).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil dos determinantes: se uma matriz quadrada tem uma de suas linhas (ou colunas) multiplicada por um escalar c, o determinante da nova matriz é o determinante original multiplicado por c. Em símbolos: se A' é obtida de A multiplicando-se a i-ésima linha por c, então
\det A' = c\det A.
Explicando de forma bem direta: o determinante é linear em cada linha (ou coluna) quando as demais ficam fixas; portanto fatoram-se constantes multiplicativas dessas linhas.

Passo 3

Agora observe como obter -A a partir de A. A matriz -A é a mesma matriz A com todas as linhas multiplicadas por -1. Como A tem n linhas, aplicando a propriedade do passo anterior sucessivamente em cada linha, cada multiplicação por -1 introduz um fator -1 no determinante. Portanto o fator total que aparece no determinante ao transformar A em -A é (-1) multiplicado n vezes, ou seja (-1)^{n}.

Passo 4

Assim chegamos à relação geral
\det(-A)=(-1)^{n}\det A.
Substituindo \det A = 4 obtemos
\det(-A)=(-1)^{n}\cdot 4.

Passo 5

Para fixar a intuição com exemplos rápidos:
  • Se n=1: \det(-A)=(-1)^1\cdot4=-4.
  • Se n=2: \det(-A)=(-1)^2\cdot4=4.
  • Se n=3: \det(-A)=(-1)^3\cdot4=-4.
    Ou seja, o sinal alterna conforme a paridade de n.

Resposta

\det(-A)=(-1)^{n}\cdot 4
(se n par, \det(-A)=4; se n ímpar, \det(-A)=-4)

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