Sejam A, B \in M_{n}(\Re) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}\left(\mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n, A,B\in M_n(\Re), com as informações:
  • \det A = 4.
  • \det B = 5.
O que é pedido: determinar \det\!\left(A^{-1}\cdot B\right).

Passo 2

Primeira observação importante: como \det A = 4 \neq 0, a matriz A é invertível e, portanto, A^{-1} existe. Sempre que \det A \neq 0 tem-se que A é inversível.

Passo 3

Fato fundamental sobre determinantes (explicação didática): o determinante mede o fator de escala do volume pelo operador linear representado pela matriz. Se uma matriz M multiplica vetores, o volume de qualquer bloco é multiplicado por \det M. Assim, ao compor duas transformações lineares representadas por X e Y, os fatores de escala se multiplicam. Por isso vale a propriedade
\det(XY)=\det X\cdot\det Y
para quaisquer matrizes quadradas X,Y da mesma ordem. Essa é a propriedade multiplicativa dos determinantes que vamos usar.

Passo 4

Aplicando a propriedade multiplicativa ao produto A^{-1}B, obtemos
\det\!\left(A^{-1}B\right)=\det\!\left(A^{-1}\right)\cdot\det B.
Além disso, há uma relação simples para a inversa: usando \det(I)=1 e I=AA^{-1},
1=\det I=\det(AA^{-1})=\det A\cdot\det\!\left(A^{-1}\right).
Isolando \det(A^{-1}) vem
\det\!\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{\det A}.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados: \det A=4 e \det B=5. Logo
\det\!\left(A^{-1}B\right)=\det\!\left(A^{-1}\right)\cdot\det B =\dfrac{1}{\det A}\cdot\det B =\dfrac{1}{4}\cdot 5 =\dfrac{5}{4}.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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