Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem
,
, com as informações:
-
. -
.
O que é pedido: determinar
.
Passo 2
Primeira observação importante: como
, a matriz
é invertível e, portanto,
existe. Sempre que
tem-se que
é inversível.
Passo 3
Fato fundamental sobre determinantes (explicação didática): o determinante mede o fator de escala do volume pelo operador linear representado pela matriz. Se uma matriz
multiplica vetores, o volume de qualquer bloco é multiplicado por
. Assim, ao compor duas transformações lineares representadas por
e
, os fatores de escala se multiplicam. Por isso vale a propriedade
para quaisquer matrizes quadradas
da mesma ordem. Essa é a propriedade multiplicativa dos determinantes que vamos usar.
Passo 4
Aplicando a propriedade multiplicativa ao produto
, obtemos
Além disso, há uma relação simples para a inversa: usando
e
,
Isolando
vem
Passo 5
Agora substituímos os valores dados:
e
. Logo