Calcule pela definição a derivada da função:
z(x)=raiz3 x-4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular pela definição a derivada da função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $. Aqui, vamos trabalhar com o conceito de derivada utilizando a definição de limite. Para isso, precisamos aplicar a fórmula da derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a definição da derivada de uma função $ z(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
z(x)
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $.

Passo 3

Substituímos $ z(x) $ na fórmula:
z(x)
Simplificando dentro das raízes:
z'(x) = limh to 0 raiz3(x + h) - 4 - raiz3x - 4h

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de $ \sqrt{3x + 3h - 4} - \sqrt{3x - 4} $ é $ \sqrt{3x + 3h - 4} + \sqrt{3x - 4} $. Assim:
raiz3x + 3h - 4 - raiz3x - 4

Passo 5

No numerador, aplicamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
Simplificando o numerador:
z'(x) = limh to 0 (3x + 3h - 4) - (3x - 4)h cdot (raiz3x + 3h - 4 + raiz3x - 4)
Então, temos:
3x + 3h - 4 - 3x + 4 = 3h

Passo 6

Cancelamos o $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada da função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $ é:
z(x) = raiz3x - 4

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