Calcule pela definição a derivada da função:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular pela definição a derivada da função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $. Aqui, vamos trabalhar com o conceito de derivada utilizando a definição de limite. Para isso, precisamos aplicar a fórmula da derivada pelo limite.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a definição da derivada de uma função $ z(x) $ em um ponto $ x $ é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $.
Passo 3
Substituímos $ z(x) $ na fórmula:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de $ \sqrt{3x + 3h - 4} - \sqrt{3x - 4} $ é $ \sqrt{3x + 3h - 4} + \sqrt{3x - 4} $. Assim:
Passo 5
No numerador, aplicamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 6
Cancelamos o $ h $ no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite quando $ h $ tende a 0:
Resposta
A derivada da função $ z(x) = \sqrt{3x - 4} $ é: