Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostrar que |a|^{2}=a^{2} ;\left|a^{2}\right|=a^{2} e \sqrt{a^{2}}=|a|
Passo 1
O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} (inteiros) e pede para mostrar três igualdades:
|a|^{2}=a^{2},
\left|a^{2}\right|=a^{2},
\sqrt{a^{2}}=|a|.
Observação: a variável b aparece no enunciado mas não é usada nas igualdades solicitadas; portanto só a é relevante para a demonstração.
Passo 2
Relembrando definições essenciais (isso é importante para a prova):
A função valor absoluto |x|\) para um número real \(x\) é definida por
\[|x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Isto quer dizer: |x|\] é sempre não negativo; se \(x já é não negativo, o valor absoluto não muda; se x é negativo, o valor absoluto troca o sinal para ficar positivo.
A raiz quadrada principal \sqrt{y} de um número real y está definida apenas para y\ge 0 e retorna o único número não negativo cujo quadrado é y. Ou seja, \sqrt{y}\ge 0 e (\sqrt{y})^{2}=y.
Vou usar essas duas definições passo a passo.]
Passo 3
Demonstração de |a|^{2}=a^{2}.
Usamos a definição do valor absoluto em dois casos:
Caso 1: se a\ge 0, então |a|=a pela definição, e portanto
|a|^{2}=a^{2}.
Caso 2: se a<0, então |a|=-a. Como (-a)^{2}=(-1)^{2}a^{2}=a^{2}, segue que
|a|^{2}=(-a)^{2}=a^{2}.
Como os dois casos ( a\ge 0 e a<0 ) esgotam todas as possibilidades, concluímos que para todo inteiro a
|a|^{2}=a^{2}.
Comentário prático: essa igualdade vale para todo real a, não apenas inteiros, porque o argumento só usou a definição do valor absoluto e a propriedade de que quadrado de um número e de seu oposto coincidem.
Passo 4
Demonstração de \left|a^{2}\right|=a^{2}.
Observação simples: para qualquer a real (aqui a é inteiro, logo real), tem-se a^{2}\ge 0 — o quadrado de um número real nunca é negativo. Pela definição do valor absoluto, se um número y é não negativo então |y|=y. Aplicando com y=a^{2} obtemos:
\left|a^{2}\right|=a^{2}.
Uma outra maneira (equivalente) de ver isso é usar a propriedade multiplicativa do valor absoluto: |a^{2}|=|a\cdot a|=|a|\cdot|a|=|a|^{2}, e do Passo 3 sabemos que |a|^{2}=a^{2}, logo |a^{2}|=a^{2}.
Passo 5
Demonstração de \sqrt{a^{2}}=|a|.
Lembrete: \sqrt{\cdot} denota a raiz quadrada principal, ou seja, sempre um valor não negativo.
Novamente fazemos a divisão em casos:
Caso 1: se a\ge 0, então a^{2}\ge 0 e a raiz principal satisfaz \sqrt{a^{2}}=a (porque a já é o número não negativo cuja quadrado é a^{2}). Mas quando a\ge0 temos também |a|=a. Assim
\sqrt{a^{2}}=a=|a|.
Caso 2: se a<0, então -a>0. Note que (-a)^{2}=a^{2}, e a raiz principal de a^{2} é o número não negativo cuja quadrado é a^{2}, isto é \sqrt{a^{2}}=-a (porque -a>0). Mas para a<0 a definição do valor absoluto dá |a|=-a. Logo
\sqrt{a^{2}}=-a=|a|.
Em ambos os casos obtemos \sqrt{a^{2}}=|a|. Observação importante: não se pode em geral afirmar \sqrt{a^{2}}=a sem a barra do valor absoluto, porque quando a é negativo essa igualdade falha; por isso a forma correta e universal é \sqrt{a^{2}}=|a|.
Passo 6
Resumo das relações demonstradas e uma pequena verificação numérica para fixar a intuição:
Exemplo rápido: tome a=3. Então |3|^{2}=3^{2}=9, |3^{2}|=|9|=9, \sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=3=|3|.
Tome a=-4. Então |-4|^{2}=4^{2}=16 e (-4)^{2}=16, |(-4)^{2}|=|16|=16, \sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4=|-4|.
Esses exemplos confirmam as demonstrações anteriores.