Sejam a, b, c números inteiros. Fatorar a expressão
(a+b+c)^{3}-\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá os números inteiros a, b, c e pede que se fatorize a expressão
(a+b+c)^{3}-\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right).
Ou seja, queremos escrever essa diferença como um produto de fatores mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e calcular o quadrado da soma de três termos. A identidade para o quadrado de uma soma de três termos é obtida por expansão:
(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca.
Explicando: soma-se cada termo com si mesmo ao quadrado e aparecem termos cruzados 2ab,2bc,2ca porque (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca).

Passo 3

Agora elevamos ao cubo usando (a+b+c)^{3}=(a+b+c)\cdot (a+b+c)^{2}. Multiplicamos termo a termo:
\begin{aligned} (a+b+c)^{3} &= (a+b+c)\bigl(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\bigr)\\\ &=a\bigl(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\bigr)\\\ &\quad +b\bigl(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\bigr)\\\ &\quad +c\bigl(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\bigr). \end{aligned}
Agora somando todos os termos iguais (agrupando monômios semelhantes) obtemos
(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\bigl(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}\bigr)+6abc.
Aqui cada monômio do tipo a^{2}b ou ab^{2} aparece com coeficiente 3 e o termo abc aparece com coeficiente 6; isso vem da soma das contribuições dos três produtos parciais acima.

Passo 4

Subtraindo a^{3}+b^{3}+c^{3} dos dois lados, isolamos a expressão que queremos fatorar:
(a+b+c)^{3}-\bigl(a^{3}+b^{3}+c^{3}\bigr)=3\bigl(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}\bigr)+6abc.
Este é um passo algébrico direto: tiramos os cubos individuais e ficamos com os restantes termos.

Passo 5

Agora vamos expandir o produto (a+b)(b+c)(c+a) para ver sua forma em monômios:
\begin{aligned} (a+b)(b+c)(c+a) &= (a+b)\bigl(bc+ba+c^{2}+ca\bigr)\\\ &=a\bigl(bc+ba+c^{2}+ca\bigr)+b\bigl(bc+ba+c^{2}+ca\bigr)\\\ &=a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc. \end{aligned}
Portanto a expansão de (a+b)(b+c)(c+a) é exatamente a soma dos seis monômios quadráticos cruzados mais 2abc.

Passo 6

Comparando a expressão obtida no Passo 4 com três vezes a expansão do Passo 5 vemos que os termos coincidem:
3\bigl(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}\bigr)+6abc =3\bigl(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc\bigr).
Como a soma dentro do parêntese à direita é a expansão de (a+b)(b+c)(c+a) (conforme Passo 5), concluímos que a expressão original é igual a 3 vezes (a+b)(b+c)(c+a).

Resposta

3(a+b)(b+c)(c+a)

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