Sejam
números inteiros. Fatorar a expressão
Passo 1
O enunciado dá os números inteiros
,
,
e pede que se fatorize a expressão
Ou seja, queremos escrever essa diferença como um produto de fatores mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e calcular o quadrado da soma de três termos. A identidade para o quadrado de uma soma de três termos é obtida por expansão:
Explicando: soma-se cada termo com si mesmo ao quadrado e aparecem termos cruzados
porque
.
Passo 3
Agora elevamos ao cubo usando
. Multiplicamos termo a termo:
Agora somando todos os termos iguais (agrupando monômios semelhantes) obtemos
Aqui cada monômio do tipo
ou
aparece com coeficiente
e o termo
aparece com coeficiente
; isso vem da soma das contribuições dos três produtos parciais acima.
Passo 4
Subtraindo
dos dois lados, isolamos a expressão que queremos fatorar:
Este é um passo algébrico direto: tiramos os cubos individuais e ficamos com os restantes termos.
Passo 5
Agora vamos expandir o produto
para ver sua forma em monômios:
Portanto a expansão de
é exatamente a soma dos seis monômios quadráticos cruzados mais
.
Passo 6
Comparando a expressão obtida no Passo 4 com três vezes a expansão do Passo 5 vemos que os termos coincidem:
Como a soma dentro do parêntese à direita é a expansão de
(conforme Passo 5), concluímos que a expressão original é igual a
vezes
.