Sejam
inteiros tais que
e
. Concluir que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
são números inteiros; -
(portanto e são negativos e é mais negativo que ); -
(portanto e são positivos e é maior que ).
O que devemos concluir/provar é a desigualdade
Passo 2
Lembrete útil (regra sobre desigualdades que vamos usar):
- Se
e , então . Ou seja, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva o sentido. - Se
e , então . Ou seja, multiplicar por um número negativo inverte o sentido. - Se
e , então . Podemos somar desigualdades termo a termo.
Vou aplicar essas regras às desigualdades dadas no enunciado.
Passo 3
Começo com
. Como
, posso multiplicar essa desigualdade por
sem mudar o sentido. Assim:
Aqui usei exatamente a primeira regra: multiplicar por positivo preserva a desigualdade.
Passo 4
Agora uso
. Como
, ao multiplicar
por
(um número negativo) o sentido da desigualdade se inverte. Portanto:
Note que o produto
e
são ambos negativos, mas a desigualdade entre eles é a indicada.
Passo 5
Agora somo as duas desigualdades obtidas em
Passo 6
Somando membro a membro:
Esta é exatamente a desigualdade desejada escrita no sentido habitual (esquerda menor que direita).
Passo 7
Reescrevendo a desigualdade obtida em
Passo 8
Portanto, a conclusão está provada. Bom trabalho — a ideia chave foi: multiplicar adequadamente as desigualdades dadas (mantendo ou invertendo o sentido conforme o sinal do multiplicador) e depois somá-las.