Sejam a, b, c, d inteiros tais que a<b<0 e 0<c<d. Concluir que 2 b c>a c+b d.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b,c,d são números inteiros;
  • a<b<0 (portanto a e b são negativos e a é mais negativo que b);
  • 0<c<d (portanto c e d são positivos e d é maior que c).
O que devemos concluir/provar é a desigualdade
2 b c > a c + b d.

Passo 2

Lembrete útil (regra sobre desigualdades que vamos usar):
  • Se x<y e k>0, então kx<ky. Ou seja, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva o sentido.
  • Se x<y e k<0, então kx>ky. Ou seja, multiplicar por um número negativo inverte o sentido.
  • Se x_1<y_1 e x_2<y_2, então x_1+x_2<y_1+y_2. Podemos somar desigualdades termo a termo.
Vou aplicar essas regras às desigualdades dadas no enunciado.

Passo 3

Começo com a<b. Como c>0, posso multiplicar essa desigualdade por c sem mudar o sentido. Assim:
a<b \quad\text{e}\quad c>0 \quad\Rightarrow\quad a c < b c.
Aqui usei exatamente a primeira regra: multiplicar por positivo preserva a desigualdade.

Passo 4

Agora uso d>c. Como b<0, ao multiplicar d>c por b (um número negativo) o sentido da desigualdade se inverte. Portanto:
d>c \quad\text{e}\quad b<0 \quad\Rightarrow\quad b d < b c.
Note que o produto b d e b c são ambos negativos, mas a desigualdade entre eles é a indicada.

Passo 5

Agora somo as duas desigualdades obtidas em

Passo 6

a c < b c
b d < b c
Somando membro a membro:
a c + b d < b c + b c = 2 b c.
Esta é exatamente a desigualdade desejada escrita no sentido habitual (esquerda menor que direita).

Passo 7

Reescrevendo a desigualdade obtida em

Passo 8

2 b c > a c + b d.
Portanto, a conclusão está provada. Bom trabalho — a ideia chave foi: multiplicar adequadamente as desigualdades dadas (mantendo ou invertendo o sentido conforme o sinal do multiplicador) e depois somá-las.

Resposta

2 b c > a c + b d

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