Sejam a, b in R e n in Z. Prove que:
|a^n|=|a|^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lvert a^nrvert = lvert arvert^n para todo a in R e n in Z. O tema aqui é valor absoluto e propriedades de expoentes inteiros, e vamos usar a propriedade multiplicativa do valor absoluto e prova por indução no caso n>=0, além de tratar separadamente n<0.

Passo 2

Vamos primeiro considerar o caso em que n>=0, ou seja, n é um inteiro não negativo. A ideia é fazer uma prova por indução em n.

Passo 3

Base da indução: para n=0, temos a^0=1. Então
lvert a^0rvert=lvert1rvert=1elvert arvert^0=1 Como ambos são iguais a 1, vale lvert a^0rvert=lvert arvert^0.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum k>=0 valha lvert a^krvert=lvert arvert^k. Queremos mostrar lvert a^k+1rvert=lvert arvert^k+1. Note que
lvert a^k+1rvert=lvert a^kcdot arvert=lvert a^krvertcdotlvert arvert, onde usamos a propriedade lvert xyrvert=lvert xrvert,lvert yrvert. Pela hipótese de indução isso é
lvert arvert^kcdotlvert arvert=lvert arvert^k+1 Portanto, por indução, para todo n>=0 temos lvert a^nrvert=lvert arvert^n.

Passo 5

Agora, para n<0, escrevemos n=-m com m>0. Então
a^n=a^-m=1a^m Tomando valor absoluto,
lvert a^nrvert=gllvert1a^mgrrvert=1lvert a^mrvert Pelo caso já provado para expoentes não negativos, lvert a^mrvert=lvert arvert^m. Logo

Passo 6

Assim, concluímos que para todo ninZ vale lvert a^nrvert=lvert arvert^n, cobrindo ambos casos n>=0 e n<0.

Resposta

lvert a^nrvert = lvert arvert^n para todo ainR, ninZ.

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