O enunciado pede para mostrar que para todo e . O tema aqui é valor absoluto e propriedades de expoentes inteiros, e vamos usar a propriedade multiplicativa do valor absoluto e prova por indução no caso , além de tratar separadamente .
Passo 2
Vamos primeiro considerar o caso em que , ou seja, é um inteiro não negativo. A ideia é fazer uma prova por indução em .
Passo 3
Base da indução: para , temos . Então
Como ambos são iguais a 1, vale .
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum valha . Queremos mostrar . Note que
onde usamos a propriedade . Pela hipótese de indução isso é
Portanto, por indução, para todo temos .
Passo 5
Agora, para , escrevemos com . Então
Tomando valor absoluto,
Pelo caso já provado para expoentes não negativos, lvert a^mrvert=lvert arvert^m. Logo
Passo 6
Assim, concluímos que para todo ninZ vale lvert a^nrvert=lvert arvert^n, cobrindo ambos casos n>=0 e n<0.
Resposta
lvert a^nrvert = lvert arvert^n para todo ainR, ninZ.