Determine o conjunto dos números x in R satisfazendo às seguintes desigualdades:
2 x^2+x <= 1

Passo 1

A inequação dada é 2x^2 + x \leq 1, que é uma inequação quadrática. Para resolver, vamos usar a ideia de levar tudo para um lado, calcular discriminante e raízes, e depois analisar o sinal da parábola.

Passo 2

Subtraindo 1 de ambos os lados, escrevemos a inequação na forma padrão f(x) \leq 0:
2x^2 + x - 1 <= 0

Passo 3

Aqui temos f(x)=2x^2+x-1, com a=2, b=1 e c=-1. Como f é uma parábola, precisamos das raízes para saber onde f(x) é não-positiva.

Passo 4

Calculamos o discriminante De:
De

Passo 5

Como De0, há duas raízes reais, dadas por Bhaskara:
x = -b pm raizDe

Passo 6

Logo as raízes são
x1 = -1 - 34 = -1,
x2 = -1 + 34 = 12

Passo 7

Agora, como a=2>0, a parábola abre para cima. Assim, f(x) \leq 0 exatamente entre as raízes, de x=-1 até x=1/2.

Resposta

x in [-1,tfrac12]

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