Determine o conjunto dos números
satisfazendo às seguintes desigualdades:
Passo 1
A inequação dada é 2x^2 + x \leq 1, que é uma inequação quadrática. Para resolver, vamos usar a ideia de levar tudo para um lado, calcular discriminante e raízes, e depois analisar o sinal da parábola.
Passo 2
Subtraindo 1 de ambos os lados, escrevemos a inequação na forma padrão f(x) \leq 0:
Passo 3
Aqui temos f(x)=2x^2+x-1, com a=2, b=1 e c=-1. Como f é uma parábola, precisamos das raízes para saber onde f(x) é não-positiva.
Passo 4
Calculamos o discriminante
:
Passo 5
Como
, há duas raízes reais, dadas por Bhaskara:
Passo 6
Logo as raízes são
Passo 7
Agora, como a=2>0, a parábola abre para cima. Assim, f(x) \leq 0 exatamente entre as raízes, de x=-1 até x=1/2.