Sejam a, b in Z. Prove que, para quaisquer m, n >= 0, as igualdades abaixo são verdadeiras:
(a b)^m=a^m b^m

Passo 1

Resumo do que temos e do que vamos mostrar. Temos a,binZ e queremos provar que, para todo inteiro m>=0, vale
(ab)^m ;=; a^m,b^m
O conteúdo usado é a definição de potência inteira não-negativa como multiplicação repetida e as propriedades associativa e comutativa da multiplicação em Z.

Passo 2

Caso base m=0. Por definição de potência temos
(ab)^0=1 e a^0b^0=1cdot1=1
Logo
(ab)^0=1=a^0b^0,
o que inicia corretamente a indução.

Passo 3

Passo de indução. Suponha que, para algum m>=0, já conheçamos
(ab)^m=a^mb^m
Esse é nosso hipótese de indução.

Passo 4

Provar o caso m+1. Começamos com a definição de potência:
(ab)^m+1=(ab),(ab)^m
Aplicando a hipótese de indução fica
(ab)^m+1=(ab),(a^mb^m)
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em Z podemos reordenar e agrupar assim:
(ab),(a^mb^m) = a,(b,a^m),b^m = a,(a^m,b),b^m = (a,a^m),(b,b^m) = a^m+1,b^m+1
Isso mostra que, se a igualdade vale para m, ela vale para m+1.

Resposta

Pela indução, concluímos que para todo m>=0 vale
(ab)^m=a^mb^m

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