Sejam
. Prove que, para quaisquer
, as igualdades abaixo são verdadeiras:
Passo 1
Resumo do que temos e do que vamos mostrar. Temos
e queremos provar que, para todo inteiro
, vale
O conteúdo usado é a definição de potência inteira não-negativa como multiplicação repetida e as propriedades associativa e comutativa da multiplicação em
.
Passo 2
Caso base
. Por definição de potência temos
Logo
o que inicia corretamente a indução.
Passo 3
Passo de indução. Suponha que, para algum
, já conheçamos
Esse é nosso hipótese de indução.
Passo 4
Provar o caso
. Começamos com a definição de potência:
Aplicando a hipótese de indução fica
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em
podemos reordenar e agrupar assim:
Isso mostra que, se a igualdade vale para
, ela vale para
.
Resposta
Pela indução, concluímos que para todo
vale